數學建模有必要論證“合理性”嗎 / 數學建模的合理性怎麼寫

前言： 參加過一些數學建模比賽，也順其自然地讀了不少參賽論文，對“數學建模有沒有必要論證合理性”這個問題發表一點拙見，歡迎捶我。

回答這個問題：數學建模沒必要論證合理性。

原因如下：

• 一般來講，數學模型都是“有依據”地建立起來的；
• 數學模型並非要多精準，大部分情況下，它的任務只是把問題的特徵抽象出來，用於描述“趨勢”；
• 如果非要論證“合理性”，只能說明建立時“依據不足”或者獨創性太強，可以考慮實證研究等手段。

接下來我們具體聊聊上述三條原因。

---

一般來講，數學模型都是“有依據”地建立起來的。

爲了更好地論證我的觀點，不妨把數學模型分爲三類：

• 絕對精準的模型，如物理公式；
• 接近精準的模型，如應用了物理公式的模型；
• 抽象的模型，忽略了很多與問題不想關的因素，只把關鍵特徵進行抽象，如絕大部分數學模型。

這三種模型都是有“依據”的，且其“依據”的權威程度呈遞減趨勢，但實用性和常用性呈上升趨勢。

---

絕對精準的模型一般只有在理想的環境中才成立。之所以叫“絕對精準”，是因爲其是在已有的公理、定理、人們都認可的假設之上進行數學推導得到的。

比如我們在高中物理學過的宏觀力學基礎：

• 我們認可牛頓三定律（慣性定律，$F=ma$，$F=-F$）的存在；
• 對牛頓三定律進行數學上的推導，便得到了許多“一定正確”的數學模型：動量定理$Ft=m\Delta v$、動量守恆定理、角動量守恆定理$L=J\omega$、動能定理$W=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_0^2$、功的原理、功能原理、能量守恆和轉化定律…

絕對精準的模型從本質上將問題分類、抽象描述，但面臨一個問題：必須在理想情況或宏觀視角下才成立。

什麼意思呢？

在高中物理中，滑塊m從斜坡M下滑這個過程可以帶來好多力學問題，但我們通常會忽略“空氣阻力”的影響。即便考慮了，恐怕也只是多帶一個參數罷了。畢竟，空氣阻力小到不用考慮，我們可以放心大膽地使用精準的物理公式，這就屬於理想情況。

建立絕對精準的模型時，力學三定律都是人們已經認可的，而你的數學推導如果是正確的，那你的結論/模型則一定是合理的，因此，絕對精準的模型沒必要論證合理性。

---

接近精準的模型使用了絕對精準的模型中的方法與思想，忽略了問題中不相關的因素。

這類模型往往用於解決一個現實問題，在建模過程中儘量排除干擾，使用人們認可的定理與假設。因爲要考慮時間等因素的影響，往往從微積分入手，比如求炮彈軌跡或者熱量傳導：

• 微分方程模型-導彈跟蹤https://wenku.baidu.com/view/eee89b24f46527d3240ce053.html
• 多見於國賽論文，如《傾斜臥式儲油罐油量標定的實用方法》https://wenku.baidu.com/view/7153942d453610661ed9f470.html

爲了擬合模型中的參數，往往使用插值擬合等方法。

這類模型的“依據”也是定律、公理與數學，因此也不需要論證其合理性。

---

抽象的模型是筆者最喜歡的一類模型（因爲筆者物理與微積分功底不太好…lol），多見於各種問題，這裏用經濟管理問題舉例。

畢竟，社會系統如此龐雜，很難用模型將其各部分“準確”描述；在建模時，忽略與問題不相關的部分，關注問題中各主體見間的關係就好。

比如，現在要研究三方競爭博弈下基於產品質量與服務水平的供應鏈金融策略，我們讀到了論文[1]。

文中提到：

根據張國興和 Chen 等人構造的線性需求函數，顧客對產品$i$的需求函數可以表達爲：
$D_i(p,q,s) = \epsilon_i \alpha - b_i p_i + \beta_1 p_j + b_2 q_i - \beta_2 q_j + b_3 s_j, i,j = 1,2$
其中…

你可以觀察到，上述式子中，所有的關係都是線性的，即產品需求與產品價格、質量、服務水平間都是線性的。

等下等下，我有兩點疑惑：

• 的確，產品質量有好壞之分，但是你憑什麼用一個常數$q$來描述產品的好壞呢？根據產品生產線的ISO認證來評分嗎？根據產品用戶滿意度調查嗎？根據產品售後數據嗎？單單一個$q$可以反映這些因素嗎？
• 就算你的$q$可以描述產品質量，你憑什麼說質量與需求是線性的呢？憑什麼不是指數的？憑什麼不是分段函數？憑什麼不是多項式？

這兩點疑惑也就是，回扣題目，你的模型合理嗎？你如何論證模型是合理的？

我的觀點是，在這個問題中，這個需求函數模型是合理的。

原因如下：

首先，$q$是依據什麼來評價產品質量的並不重要。在這個問題中，產品質量確實有好壞之分，因此用連續變量$q$來描述合情合理。

其次，$q$憑什麼與需求函數是線性關係？第一，文章也指出了，“根據張國興和 Chen 等人構造的線性需求函數”，即有前人文獻、研究支持；第二，$q$與需求函數具體什麼關係不重要，我們這裏只需要有“$+ b_2 q_i - \beta_2 q_j$”這兩項，來表達產品i的需求量與自己的質量成正比，與對手的質量成反比就足夠了。既然只需要描述正反比，何不用最簡單的線性函數呢？

OK，那我還有一個巨大的疑問：

• 那這麼說，你這個模型也不準確呀？
• 假設我現在給你數據“$q_1=1,q_2=2...$”，你能保證實際的需求量一定是$D(p,q,s)$函數所得嗎？

回答這個問題，很簡單，我們只需要明確，我們的模型不是預測模型。不是所有的模型都是預測模型，不是所有模型都必須要在數量關係上準確。

在這篇文章中（在這個模型中），我們研究的是不同博弈策略下，$D(p,q,s)$及其相關變量的關係，大多通過博弈論與求導的方法進行研究。

比如下圖[1]：

你看，我們不需要模型給我們明確的數量。我們只需要這類模型給我們知道意見。在這個例子中，管理者將意識到：如果想提升產品質量水平，應該讓該三方供應鏈中的製造商投資比例下降。

這種思想還常用於規劃模型：

• 得到求最優解的方法；
• 調參數，求最優解與最優目標函數值；
• 對比不同參數下的目標函數值變化（靈敏度分析）；
• 依此對參數的選擇與現實問題給出指導意見。

講到這裏，相信你也理解了我的另外兩條觀點：

• 數學模型並非要多精準，大部分情況下，它的任務只是把問題的特徵抽象出來，用於描述“趨勢”；
• 如果非要論證“合理性”，只能說明建立時“依據不足”或者獨創性太強，可以考慮實證研究等手段。

---

所以你看，數學建模的合理性並不需要論證，因爲我們在建模時就充分將其考慮了。

REFERENCES:
[1] 王文韜. 合作質量投資情形下商品三重競爭均衡與協調策略研究[D].