中位數及帶權中位數

信息學競賽總是時不時與數學產生微妙的關係，中位數及帶權中位數問題有時常常成爲解題的關鍵，今日有時間，所以梳理一下。

先從一到簡單的題看起：

士兵站隊問題

在一個劃分成網格的操場上，n個士兵散亂地站在網格點上。網格點由整數座標(x,y)表示。士兵們可以沿網格邊上、下、左、右移動一步，但在同一時刻任一網格點上只能有一名士兵。按照軍官的命令，士兵們要整齊地列成一個水平隊列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何選擇x和y的值才能使士兵們以最少的總移動步數排成一列。

分析:這個問題我們可以把X，Y分開看，兩者互不影響。其實就是求所以橫座標的中點，也就是中位數，那麼爲什麼呢？

我們可以把所選定的位置左右的兩個點看成一對，只要所選位置在兩者之間，那麼長度恆等於兩點的線性距離和，所以我們可以根據每一對不斷縮小我們所選位置的範圍，最後如果有奇數個點，那麼就會在中間的那個點上，如果是偶數那麼在中間兩個數和他們所構成的區間，這樣想就容易發現中位數這一規律了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int x[10010],y[10010];
int main()
{
    freopen("sol.in","r",stdin);
    freopen("sol.out","w",stdout);
    int n,i,sum=0,s;
    cin>>n;
    for (i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    sort(x+1,x+n+1);
    sort(y+1,y+n+1);
    s=y[(1+n)/2];
    for (i=1;i<=n;i++)
      sum+=abs(y[i]-s);
    for (i=1;i<=n;i++)
      x[i]-=i;
    sort(x+1,x+n+1);
    s=x[(1+n)/2];
    for (i=1;i<=n;i++)
      sum+=abs(x[i]-s);
    cout<<sum<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

再看看中位數與動歸結合的應用：

[問題描述]

一些村莊被建在一條筆直的高速公路邊上。我們用一條座標軸來描述這條高速公路，每一個村莊的座標都是整數。沒有兩個村莊座標相同。兩個村莊間的距離，定義爲它們座標值差的絕對值。

人們需要在一些村莊建立郵局——當然，並不是每一個村莊都必須建立郵局。郵局必須被建在村莊裏，因此它的座標和它所在的村莊座標相同。每個村莊使用離它最近的那個郵局，建立這些郵局的原則是：所有村莊到各自所使用的郵局的距離總和最小。

你的任務是編寫一個程序，在給定了每個村莊的座標和將要建立的郵局數之後，按照上述原則，合理地選擇這些郵局的位置。

輸入文件的文件名是post.in

文件的第輸入文件中同一行相鄰兩項之間用一個或多個空格隔開。

一行是包含兩個整數：第一個整數是村莊的數目V，1〈=V〈=300，第二個整數是將建立的郵局數P，1〈=P〈=30且P〈=V。

文件的第二行按照遞增順序列出了V個整數。這V個整數分別表示了各村莊的位置座標。對於每一個位置座標X，1〈=X〈=10000。

輸出文件名是post.out

文件的第一行是一個整數S，表示你所求出的所有村莊到離它最近郵局的距離的總和。

相應地，文件的第二行按照遞增順序列出了P個整數，分別表示你所求出每個郵局的建立位置。雖然對於同一個S，可能會有多種郵局建立的方案，但只需輸出郵局位置儘量靠前的一組。

Example

Post.in

10   5

1 2 36 7 9 11 22 44 50

Post.out

9

2 7 2244 50 

這一道題是很經典的區間動態規劃題，在預處理中就用到了上述思想。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,len[320][320],f[320][320],a[320],s[320][320],m1[320][320];
void print(int x,int y)
{
    if (x==0)
     return;
    print(x-1,s[x][y]);
    printf("%d ",a[m1[s[x][y]+1][y]]);
}
int main()
{
    freopen("post.in","r",stdin);
    freopen("post.out","w",stdout);
    int i,j,k;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=i;j<=n;j++)
        {
            m1[i][j]=(i+j)/2;
            int temp1=0;
            for (k=i;k<=j;k++)
              {
                len[i][j]+=abs(a[k]-a[m1[i][j]]);
              }

        }
    memset(f,127,sizeof(f));
    for (i=1;i<=n;i++)
      {
        f[1][i]=len[1][i];
        s[1][i]=0;
      }
    for (i=2;i<=m;i++)
      for (j=i;j<=n;j++)
        for (k=i-1;k<=j-1;k++)
           if (f[i][j]>f[i-1][k]+len[k+1][j])
             {
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+len[k+1][j]);
                s[i][j]=k;
             }
    cout<<f[m][n]<<endl;
    print(m,n);
    return 0;
}

中位數解決了，那麼就來看一下帶權中位數問題，這個問題如果不知道，一定會覺得某些題十分的高大上，無從下手。例如

典型的帶權中位數問題，把平面轉成線性即可。爲何帶權中位數問題就是就權值的中位數呢，我們可以這麼想，不帶權的相當於權爲1，每個點只有一個人，那麼帶權就相當每個點有該點權值個人，這樣理解就與上面的思路神合了

ps:證明過程

若最優點在T
則有:
∑{D*DIST(I，T)}(I<>T)<=∑{D*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)
將此式化爲:
∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)
<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)
即:
∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))進一步化簡爲:
∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)∵DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)
DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)
OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)
因此:
∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1)
即:∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T)
因此我們發現，若T是最優點，則必有其左邊的權值和加上D[T]後大於右邊的權值和
而類似的，我們可以證明其右邊的權值和加上D[T]後大於左邊的權值和
因此我們要找的點也就是滿足以上條件的點。注意到此時我們的選擇已經和具體的位置(座標)沒有關係了，而成爲主要考慮因素的僅僅是各點上的權值。
因爲左邊的權值和數+D[T]>=右邊的權值和，那麼:
LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T])
=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*RIGHTSUM<=SUMALL
同理可得:
RIGHTSUM+D[T]>=LEFTSUM=SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])
=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*LEFTSUM<=SUMALL
此時我們發現:
2*LEFTSUM<=SUMALL 而 2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
也即是說當前的位置T上的數包含了第[(SUMALL)/2]個數，由開篇的簡述可知，這第[(SUMALL)/2]個數，就是這個序列中的帶權中位數。所以這一類問題，實質上就是帶權中位數問題。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct data
{
 int x,y,w;
};data num[50003];
int n,i,j,k;
double sum,ans,xx,yy;
int xl,yl;
int cmp(data a,data b)
{
    return a.x<b.x;
}
int cmp1(data a,data b)
{
    return a.y<b.y;
}
int main()
{
    freopen("ball.in","r",stdin);
    freopen("ball.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    sum=ans=xx=yy=0;
    for (i=1;i<=n;i++)
     {
     scanf("%d",&num[i].w);
     sum+=num[i].w;
     }
    for (i=1;i<=n;i++)
     scanf("%d%d",&num[i].x,&num[i].y);
    sort(num+1,num+n+1,cmp);
    double mid=sum/2;
    for (i=1;i<=n;i++)
     {
        xx+=num[i].w;
        if (xx>mid)
         {
            xl=num[i].x;
            break;
         }
     }
    for (i=1;i<=n;i++)
     ans+=num[i].w*(abs(num[i].x-xl));
    sort(num+1,num+n+1,cmp1);
    for (i=1;i<=n;i++)
     {
        yy+=num[i].w;
        if (yy>mid)
         {
            yl=num[i].y;
            break;
         }
     }
    for (i=1;i<=n;i++)
     ans+=num[i].w*(abs(num[i].y-yl));
    printf("%0.2lf",ans);
}