1 蟻羣算法
基本原理:
(1)螞蟻在攜帶等量的信息素一路釋放
(2)信息素濃度會和路徑的長度成反比
(3)下次螞蟻來到該路口會選擇信息素濃度較高的那條
(4)短的路徑上的信息素濃度會越來越大，最終成爲蟻羣的最優路徑
信息素更新模型
蟻周模型（Ant-Cycle模型）
蟻量模型（Ant-Quantity模型）
蟻密模型（Ant-Density模型）
區別：
1.蟻周模型利用的是全局信息，即螞蟻完成一個循環後更新所有路徑上的信息素；
2.蟻量和蟻密模型利用的是局部信息，即螞蟻完成一步後更新路徑上的信息素。
蟻羣算法中主要參數的選擇:
蟻羣算法中主要參數的理想選擇如下:
2 蟻羣算法與TSP問題的關係
蟻羣算法就是螞蟻尋找食物的過程，而把多個食物放在不同的地方，就是著名的TSP(Traveling Salesman Problem)問題,而信息素分佈最多的路線就是最短的路徑。
3 代碼實現
[xdata,textdata]=xlsread('11.xls'); %加載10個城市的數據，數據按照表格中的位置保存在Excel文件11.xls中
x_label=xdata(:,2); %第二列爲橫座標
y_label=xdata(:,3); %第三列爲縱座標
C=[x_label y_label]; %座標矩陣
n=size(C,1); %n表示城市個數
D=zeros(n,n); %D表示完全圖的賦權鄰接矩陣，即距離矩陣D初始化
for i=1:n
for j=1:n
if i~=j
D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5; %計算兩城市之間的距離
else
D(i,j)=0; %i=j, 則距離爲0；
end
end
end
%%==================蟻羣算法實現過程======================================================
%%============== 第一步 變量初始化==============
iter_max=100; %最大迭代次數
m=30; % 螞蟻個數
Alpha=1; % 表徵信息素重要程度的參數
Beta=5; % 表徵啓發式因子重要程度的參數
Rho=0.8; % 信息素蒸發係數
Q=10; % 信息素增加強度係數
Eta=1./D; % Eta爲能見度因數，這裏設爲距離的倒數
Tau=ones(n,n); % Tau爲信息素矩陣，初始化全爲1
Tabu=zeros(m,n); % 存儲並記錄路徑的生成
nC=1; % 迭代計數器
R_best=zeros(iter_max,n); %各代最短路線，行爲最大迭代次數，列爲城市個數
L_best=inf.*ones(iter_max,1);%%各代最短路線的長度，inf爲無窮大
L_ave=zeros(iter_max,1); % 各代平均路線長度
%%============== 第二步 將m只螞蟻放到城市上==============
while nC<=iter_max %停止條件之一：達到最大迭代次數
Randpos=[];
for i=1:(ceil(m/n)) %ceil表示向無窮方向取整
Randpos=[Randpos,randperm(n)]; %randperm(n)：表示隨機產生一個整數排列
end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))'; %每隻螞蟻（m只）都對應有一個位置，Tabu(:,1)爲每隻螞蟻走過的第一個城市
%% ============== 第三步 m只螞蟻按概率函數選擇下一座城市，完成各自的周遊==============
for j=2:n %城市從第二個開始
for i=1:m
visited=Tabu(i,1:(j-1)); %已訪問的城市
J=zeros(1,(n-j+1)); %待訪問的城市
P=J; %待訪問城市的選擇概率分佈（初始化）
Jc=1; %循環下標
for k=1:n %利用循環求解待訪問城市，如果第k個城市不屬於已訪問城市，則其爲待訪問城市
if length(find(visited==k))==0
J(Jc)=k;
Jc=Jc+1; %下表加1，便於下一步存儲待訪問的城市
end
end
for k=1:length(J) % 下面計算待訪問城市的概率分佈，length(J)表示待訪問城市個數
P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta); %概率計算公式中的分子
end
P=P/(sum(P)); %概率分佈：長度爲待訪問城市個數
Pcum=cumsum(P); %求累積概率和：cumsum（[1 2 3])=1 3 6,目的在於使得Pcum的值總有大於rand的數
Select=find(Pcum>=rand); %按概率選取下一個城市：當累積概率和大於給定的隨機數，則選擇求和被加上的最後一個城市作爲即將訪問的城市
if isempty(Select) %若選擇城市爲空集，則隨機將任一城市加入禁忌表中
Tabu(i,j)=round(1+(n-1)*rand);
else
next_visit=J(Select(1)); %next_visit表示即將訪問的城市
Tabu(i,j)=next_visit; %將訪問過的城市加入禁忌表中
end
end
end
if nC>=2;Tabu(1,:)=R_best(nC-1,:);end %若迭代次數大於等於2，則將上一次迭代的最佳路線存入到Tabu的第一行中
%% ==============第四步 記錄本次迭代最佳路線==============
L=zeros(m,1);
for i=1:m;
R=Tabu(i,:);
for j=1:(n-1)
L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1)); %求路徑距離
end
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n)); %加上最後一個城市與第一個城市之間的距離
end
L_best(nC)=min(L); %最優路徑爲距離最短的路徑
pos=find(L==L_best(nC)); %找出最優路徑對應的位置：即爲哪隻螞蟻
R_best(nC,:)=Tabu(pos(1),:); %確定最優路徑對應的城市順序
L_ave(nC)=mean(L); %求第k次迭代的平均距離
nC=nC+1;
%% ==============第五步 更新信息素，此處蟻周系統==============
Delta_Tau=zeros(n,n); %Delta_Tau(i,j)表示所有螞蟻留在第i個城市到第j個城市路徑上的信息素增量
for i=1:m
for j=1:(n-1) %建立了完整路徑後在釋放信息素
Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);
end
Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);
end
Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %信息素更新公式
%% ==============第六步 禁忌表清零==============
Tabu=zeros(m,n);
end
%% ==============第七步 輸出結果==============
Pos=find(L_best==min(L_best)); %找到L_best中最小值所在的位置
Shortest_Route=R_best(Pos(1),:) %提取最短路徑
Shortest_Length=L_best(Pos(1)) %提取最短路徑長度
%% ==============作圖==============
figure(1) %作迭代收斂曲線圖
x=linspace(0,iter_max,iter_max);
y=L_best(:,1);
plot(x,y,'-','LineWidth',2);
xlabel('迭代次數'); ylabel('最短路徑長度');
figure(2) %作最短路徑圖
Shortest_Route=[Shortest_Route Shortest_Route(1)];
plot([C(Shortest_Route,1)],[C(Shortest_Route,2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(C,1)
text(C(i,1),C(i,2),[' ' num2str(i)]);
end
xlabel('城市橫座標'); ylabel('城市縱座標');
