第四章泊松過程3

1幾何泊松過程

1.1定義

$\{N_t,t\geq 0\}$爲獨立增量過程，常數$\sigma>-1,$定義$N_t^{ge}=e^{N_tln(\sigma+1)-\lambda\sigma t}=(\sigma+1)^{N_t}e^{-\lambda t}$

性質

對於$\forall 0\leq s<t$,$E\left[\frac{N_t^{ge}}{N_s^{ge}}\right]=1$
證明：

2複合泊松過程

1定義

設$N=\{N_t,t\geq 0\}$是參數爲$\lambda$的泊松分佈，$\{Y_k,k=1,2,...\}$是一系列獨立同分布的隨機變量，且與$N$獨立。那麼我們令$X_t=\sum_{n=1}^{N_t}Y_k$稱$X=\{X_t,t\geq 0\}$爲複合泊松過程

• 理解
  Nt表示隨機點數的個數，$Y_k$代表每個隨機點數所攜帶的能量
• 性質
  • 可以由隨機遊動過程和泊松過程來表示
  • 滿足平穩獨立增量性

2數字特徵

設隨機變量的數學期望爲$\mu,$方差爲$\sigma^2,$計算複合泊松過程的期望方差相關函數。
期望：
$E[X_t]=E[\sum_{k=1}^{N_t}Y_k]=E[\sum_{k=1}^{N_t}Y_k|N_t=n]=E[E(\sum_{k=1}^{N_t}Y_k)P(N_t=n)]=E[n\mu]=\lambda t\mu$方差：
$E[(X_t-m_X(t)^2]=E[X_t^2-2X_tm_X(t)+m_X(t)^2]=E[X_t^2-2X_tm_X(t)+m_X(t)^2]$不同的$Y_k$是獨立的，所以要分兩種情況討論 $E[n(\mu ^2+\sigma^2)+n(n-1)\mu^2]-\mu^2\lambda^2t^2=\lambda t(\mu ^2+\sigma^2)+(\lambda^2 t^2+\lambda t)\mu^2-\lambda t\mu^2-\lambda^2 t^2\mu^2=\lambda t(\mu^2+\sigma^2)$
相關函數：
$E[X_sX_t]=E[X_s(X_t-X_s+X_s)]=E[X_s(X_t-X_s)]+E[X_s^2]=m_X(s)m_X(t-s)+E[X_s^2]$