第四章泊松過程2

1泊松過程的等價定義

1.1定義

1. $N_0=0$
2. N是平穩的獨立增量過程
   對於很小的h，有
3. $P\{N_{t+h}-N_t=1\}=\lambda h+o(h)$
4. $P\{N_{t+h}-N_t=0\}=1-\lambda h+o(h)$
   

1.2定理

1. 泊松過程必滿足“0-1”律
2. 如果計數過程滿足獨立平穩增量且滿足“0-1”律，則該過程爲泊松過程

1.3例題

讓這個例題賣個萌

解：

1. $T_{100}$
2. $E[T_{100}]=n/\lambda=100/5=20$
3. $\tau$服從指數分佈，$f(\tau)=\lambda e^{-\lambda\tau}$
4. $E[\tau_n]$

2泊松過程到達的條件分佈

2.1僅有一個點到達的情況

設$N=\{N_t,t\geq 0\}$服從泊松分佈，那麼在$N_t=1$的條件下，過程的第一個隨機點到達的時間$T_1$服從$[0,t_1]$上的均勻分佈即
$P(T_1<s|N_t=1)=s/t$
證明：
$P(T_1<s|N_t=1)=\frac{P(T_1<s,N_t=1)}{P(N_t=1)}=\frac{P(N_s=1,N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}=\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}/\lambda te^{-\lambda t}=s/t$

2.2更一般的情況

設$N=\{N_t,t\geq 0\}$服從泊松分佈，那麼在$N_t=n$的條件下，隨機點的n個到達時刻$T_1<T_2<...<T_n$有以下聯合概率密度函數：
$p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n}$
證明：

所以$p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n}$

2.3例題