快速冪 & 快速乘取模（模擬大數模冪運算，解決乘法爆long long問題）

引言

在RSA密碼中，當收到密文C時，可使用私鑰解開，計算公式爲
$X\,=\,C^{e}\,mod\,n$如果想讓你計算 $20190324^{823816093931522017}\,mod\,1001733993063167141$應該如何用代碼實現？我們知道，在Java裏有大數類，Python依靠其強大的計算性能有些數據甚至可以直接計算。那麼在C/C++中應該如何處理？單獨用快速冪也會爆long long，我們可以採取快速冪調用快速乘進行取模的方法得到結果。

關於快速冪與快速乘的具體原理，可在此博客瞭解：快速冪 & 快速乘原理講解（模板）

1 原因分析

首先我們直接用快速冪計算引言中提到的公式：
不出意料，結果直接溢出。

2 快速冪取模（大數模冪模擬）

因爲數據實在是太大了，取模和開long long也沒辦法解決問題，於是可以對快速冪中的乘法運算

ans = (ans * base) % mod;
base = (base * base) % mod;

進行優化，改爲快速乘求結果

ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = (ans + a) % mod;
		}
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	//優化1
	    	ans = ksc(ans, base, mod) % mod;
		}
		//優化2
		base = ksc(base, base, mod) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

3 驗證

完整代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const ll mod = 1001733993063167141;

ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = (ans + a) % mod;
		}
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = ksc(ans, base, mod) % mod;
		}
		base = ksc(base, base, mod) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    cout << "20190324 ^ 823816093931522017 = " << ksm(20190324, 823816093931522017, mod) << endl;
    return 0;
}

運行結果：
可以看到數據溢出的問題得到解決，達到了大數模擬的效果。