快速幂 & 快速乘取模（模拟大数模幂运算，解决乘法爆long long问题）

引言

在RSA密码中，当收到密文C时，可使用私钥解开，计算公式为
$X\,=\,C^{e}\,mod\,n$如果想让你计算 $20190324^{823816093931522017}\,mod\,1001733993063167141$应该如何用代码实现？我们知道，在Java里有大数类，Python依靠其强大的计算性能有些数据甚至可以直接计算。那么在C/C++中应该如何处理？单独用快速幂也会爆long long，我们可以采取快速幂调用快速乘进行取模的方法得到结果。

关于快速幂与快速乘的具体原理，可在此博客了解：快速幂 & 快速乘原理讲解（模板）

1 原因分析

首先我们直接用快速幂计算引言中提到的公式：
不出意料，结果直接溢出。

2 快速幂取模（大数模幂模拟）

因为数据实在是太大了，取模和开long long也没办法解决问题，于是可以对快速幂中的乘法运算

ans = (ans * base) % mod;
base = (base * base) % mod;

进行优化，改为快速乘求结果

ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = (ans + a) % mod;
		}
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	//优化1
	    	ans = ksc(ans, base, mod) % mod;
		}
		//优化2
		base = ksc(base, base, mod) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

3 验证

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const ll mod = 1001733993063167141;

ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = (ans + a) % mod;
		}
		a = (a + a) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
		if(b & 1) {
	    	ans = ksc(ans, base, mod) % mod;
		}
		base = ksc(base, base, mod) % mod;
		b >>= 1;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    cout << "20190324 ^ 823816093931522017 = " << ksm(20190324, 823816093931522017, mod) << endl;
    return 0;
}

运行结果：
可以看到数据溢出的问题得到解决，达到了大数模拟的效果。