P1082 同餘方程(NOIP 2012 提高組 第二天 第一題) 拓展歐里幾得

題目及解析

求關於x的同餘方程ax≡1(mod b)的最小正整數解。

ax≡1(mod b)等價於 ax + by = 1
ax≡1(mod b)——>ax mod b=1——>ax-b⌊ax/b⌋=1——>設y=-⌊ax/b⌋——>ax+by=1

拓展歐里幾得

拓展歐里幾得即求不定方程 ax + by = d { gcd (a,b) | d } 的一組整數解的算法

設 x’ , y’ 爲 bx + ( a mod b ) y = d 的一組整數解
bx’ + ( a - ⌊a/b⌋b ) y’ =d
再將含 a 和含 b 的放在一起 ay’ + b ( x’ - ⌊a/b⌋y’ ) =d
代入 x = y’ , y = x’ - ⌊a/b⌋y’ 就能得到原方程的一組整數解
過程中遞歸求解即可

謝謝MW大佬講課%%

代碼

#include <cstdio>

using namespace std;

long long a,b,x,y,k;

void exgcd(long long a,long long b){
	if (b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	k=x;
	x=y;
	y=k-a/b*y;
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b);
	printf("%lld",(x+b)%b);
}

呲啦，碳酸氣體迫不及待衝出密閉空間的歡呼聲。
——夏天的聲音。