擴展歐幾里得的學習

1  概述

          擴展歐幾里得算法  用來 求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax+by =  gcd(a, b) =d（已知a, b， 且該解一定存在）。擴展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。

2  歐幾里得算法   （又稱輾轉相除法）

         

int gcd(int a, int b)
{
    if (a < b)
    {
        int c = a;
        a = b;
        b = c;
    }
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

2 擴展歐幾里得
如果 b == 0， x = 1， y = 0， 使得 a = ax + by

如果 b ！= 0， 則 gcd 首先計算出滿足 dd = gcd（b， a%b）和 dd = b*xx + （a%b）*yy

                     有 d = gcd（a， b） = dd = gcd（b， a%b）

                    ==>  d = b*xx + （a - b * (a/b)）yy  = a*yy + b*（xx - (a/b)*yy）

                     則對應過來有：x = yy， y = xx - (a/b)*yy

int e_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int cx, cy, d;
        d = e_gcd(b, a%b, cx, cy);
        x = cy;
        y = cx - (a/b)*cy;
        return d;
    }
}