論文 A Linear Time Algorithm for Placing phi-Nodes：閱讀筆記

介紹

這個論文提出了一種簡單高效率的插入$\phi$-node的方法，也指出了傳統插入$\phi$-node算法的一些弊端。
注：這個論文還有一些前置論文，我懶得看了

想要解決的問題

論文想要解決的是在計算dominance frontier時候潛在的$O(N^2)$的複雜度。論文指出計算$\phi$-node插入位置可以在線性時間內完成，核心就在於處理dominator tree的順序，同時這種方式還可以on-the-fly的方式計算dominance frontier。

該論文使用了一種$DJ-graph$的結構來作爲整個算法的基礎。DJ-Graph的本質上是在dominator tree上添加了J-edge（join-edge），

The tree skeleton is augmented with J-edges (join edges) that correspond to all edges of the CFG whose source does not strictly dominate its destination. - Static Single Assignment Book

注：上圖源於Static Single Assignment Book

傳統placing $\phi$-node算法回顧

在構造SSA介紹的插入$\phi$-node的算法比較粗糙，還沒有考慮到live信息，效率也比較低。

注：上圖來自於Data Flow Analysis Theory and Pratice

這個算法有兩個特點，一是預先計算好所有的dominance frontier信息，二是迭代的方式插入$\phi$-node的效率比較低。

背景知識

有兩點背景知識以前沒有接觸過，一個是dominance frontier的拓展，從一個節點的$DF(x)$ 拓展到一個節點集合 $DF(S)$。

$DF(S) = \bigcup_{x \in S} DF(x)$

另一個是iterated dominance frontier $IDF(S)$或者（$DF^+(S$）（這也是我爲什麼看llvm的代碼IDFCalculatorBase看不懂的原因 😃）,$IDS(S)$是通過迭代計算$DF(S)$得到的，其實也就是$DF$的傳遞閉包。

$IDF_1(S) = DF(S) \\ IDF_{i+1} = DF(S \cup IDF_i(S))$

其實在傳統的$\phi$-node插入算法中，迭代就是爲了計算這個$IDF(S)$。

另外，對於$J-edge(a, b)$，所有$a$ DT上的ancestors（包括$a$）也不會strictly dominate $b$，也就是$b$也在這些ancestor的DF集合中。例如Fig3.3中，($F$, $G$)是一個$J-edge$，所有{($F$, $G$), ($E$, $G$), ($B$, $G$)}也是$DF-edge$。

那麼$J-edge$和$DF$的關係是$DF$可以有簡單的$J-edge$推出來。

核心實現

首先$DJ-graph$有幾個需要在着重強調的特性，

線性時間構造DJ-graph

注：上圖來源於論文

首先$DJ-graph$以dominator tree作爲骨架，第一點就是在其上添加join edges，例如我們要爲Figure 2中的節點2附着join edge，首先在flowgraph中找到destination爲節點2的邊，例如$1 \rightarrow 2$和$2 \rightarrow 6$，但是$1$支配$2$，所以我們在dominator tree加上$6 \rightarrow 2$。只要我們考察完flowgraph所有的邊，再結合dominator tree就可以在構造出$DJ-graph$。

$DJ-graph$有以下三個屬性：

• 前面我們已經探討了$J$ edge 和dominance frontier的關係，例如對於$J-edge (a, b)$，$b$在所有$a$及其ancestor的$DF$集合中。
• 對於$y \in DF(x)$（同樣$y \in IDF(x)$），$y$在dominator tree中的level永遠小於等於$x$。這是整篇論文的關鍵，換句話說，如果我們要找$x$的dominance fontier，只找level值小於等於$x$的節點就夠了。
• $y \in DF(x)$，當且僅當存在$z \in SubTree(x)$，並且存在一條$J-edge$ $z \rightarrow y$同時$y$的level值小於等於$x$的level值。

computing dominance frontier

論文推出了一條引理，

Lemma 1 : A node $z \in DF(x)$ iff there exists a $y \in SubTree(x)$ with $y \rightarrow z$ as a $J-edge$ and $z.level \le x.level$

通過上面的引理論文給出了一個計算dominance frontier的算法，

例如我們要計算Figure 2中節點$3$的dominance frontier，首先$SubTree(3) = {3, 9, 10, 11, 12, 13, 14}$，$J-edge$有${10 \rightarrow 12, 11 \rightarrow 12, 13 \rightarrow 3, 13 \rightarrow 15, 14 \rightarrow 12}$。而其中節點$3$，$15$滿足上面的引理，所以$DF(3) = {3, 15}$。

該篇論文算法的另一個核心就是順序，例如我們要計算$DF({9, 12})$，因爲$12 \in SubTree(9)$，所以我們在計算dominance frontier時，節點$12$的$SubTree$被處理了兩遍，所以在計算dominance frontier時按照dominator tree的level從下到上處理。

如下圖所示，在處理$DF(w)$之前，$DF(x)$已經計算出來了。

注：上圖來自與Static Single Assignment Book

插入$\phi$-node

在我們得到$DJ-graph$之後，就可以計算$\phi$-node插入的位置。這裏的算法使用《Static Single Assignment Book》的描述。

例如對$v$進行定義的節點有$1$，$3$，$4$，$7$。首先算法使用一個$OrderedBucket$來組織這些節點，然後按照depth從大到小處理以這些節點爲起始點的$J$-edge，如果這個edge滿足引理Lemma 1，則把$J$-edge的終止節點加入$DF({1, 3, 4, 7})$中。

這篇論文的算法針對《構造SSA》的改進有以下幾點：

• 把計算dominance frontier的粒度從單個節點擴展到一個節點集合。例如對於變量$x$的$def$通常也是一個節點集合。
• 不需要預先計算dominance frontier，可以on-the-fly地計算dominance frontier
• 通過$J$-edge，以bottom up的方式地進行處理，保證每個節點每條邊只處理一遍沒提升了效率

效果及使用情況

通過論文作者的描述，該算法實現了5倍的提升。llvm最開始的時候使用的是Cytron的算法，後來就使用本論文中的算法，見GenericIteratedDominanceFrontier.h。

//===- IteratedDominanceFrontier.h - Calculate IDF ------------*- C++ -*-===//
//
// Compute iterated dominance frontiers using a linear time algorithm.
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// The algorithm used here is based on:
//
//  Sreedhar and Gao. A linear time algorithm for placing phi-nodes.
//  In Proceedings of the 22nd ACM SIGPLAN-SIGACT Symposium on Principles of
//  Programming Languages
//  POPL '95. ACM, New York, NY, 62-73.
//
// It has been modified to not explicitly use the DJ graph data structure and
// to directly compute pruned SSA using per-veriable liveness information.
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