Slam 14講學習筆記 —— 第3講 —— 三維空間剛體運動

原創

木易早早

2020-06-21 22:53

注：本文是閱讀了高翔博士的slam 14講所記的筆記，內容大多來自
其書。

一個剛體（在SLAM中可簡化理解爲相機）在三維空間中的運動使用平移和旋轉來描述。

1.相機的旋轉和平移如何描述：先說旋轉：

：設某個單位正交基 (e1,e2,e3) （相當於不變的世界座標系）經過一次旋轉，變成了 (e′ 1,e′ 2,e′ 3)（相當於相機的座標系）。那麼，對於同一個向量 a（注意該向量並沒有隨着座標系的旋轉而發生運動），它在兩個座標系下的座標爲 [a1,a2,a3]T 和 [a′ 1,a′ 2,a′ 3]T。根據座標的定義，有：

但我們想知道的是兩個座標之間的關係，形式應爲:a=()a’
注：a和a’爲座標， ()裏應爲某種運算關係。所以對上式同時左乘：[e1^T,e2^T,e3^T],得到下面的式子：

R即爲旋轉矩陣。旋轉矩陣可以用來描述相機的旋轉。

思考：現實中的旋轉（360度以內），不考慮平移等因素，是以某個軸爲中心的旋轉，那麼既然旋轉矩陣可以描述旋轉，是不是可以理解爲360度以內的任意旋轉都可以用矩陣描述呢》答案是可以！且這些旋轉矩陣構成的集合被稱爲SO(3）,3表示是在三維中。slam目前也只研究到三維，這個集合SO(3)即屬於李羣（李羣包含了SO(3))。
旋轉矩陣的性質：
1）行列式爲1 的正交矩陣
2）因爲爲正交陣，所以R^T=R^-1,描述的是一個和R相反的旋轉。
至此，相機的旋轉的描述可以說已經成功了。加上平移，可以寫成下面的式子：

注：上式描述的是：世界座標系中的向量 a，經過一次旋轉（用 R 描述）和一次平移 t 後，得到了 a′。

好了，大功告成，可然而不。。。。。

因爲存在問題：就是相機在三維空間的移動不是隻有一次，而是很多次，以兩次爲例：

注1：上面的式子通過添加最後一維，即用4個數來表達3維向量，多一個自由度但允許我們寫成線性的形式，如三維空間的點（1，1，1）和（2，2，2）代表不同的點，但是，用四維齊次座標來表示三維（同理用三維齊次也可以來表示二維，可以想一想）則（1，1，1，1）和（2，2，2，2）即（n, n,n,n)爲三維空間的同一點）注：（必須最後一維化爲1）

注2：上式中的T即爲變換矩陣由上式可以看出，T中左上角爲旋轉矩陣R，右上角爲平移向量，它一樣也構成了一個羣SE(3)。

那麼到現在三維的空間運動描述總算完了吧，並不。。。

思考：

問題一：旋轉矩陣R爲33的矩陣，9個量，一次旋轉3個自由度；變換矩陣44，16個量，表達了6個自由度（旋轉加平移）
說明這種表達是不合理的，找更加簡潔的方式。

問題二：旋轉和變換矩陣有自身約束，行列式爲1 的正交陣。而在估計相機的位姿即是計算和估計旋轉和變換矩陣，這些約束會使得求解變得困難。

所以提出了旋轉向量，一個三維向量表達旋轉，六維向量表達變換。
現實生活中，一個旋轉可以用一個旋轉軸，一個旋轉角度，來描述。旋轉向量也如此：設旋轉向量與旋轉軸一致，向量的長度描述旋轉角。

所以除了旋轉矩陣R，一個三維向量即可以描述旋轉。

既然旋轉矩陣與旋轉向量都可以描述旋轉，那肯定有關係。關係如下：

注：什麼是反對稱 ^，以下做介紹：
對於三維空間中的兩個向量a,b 除了四則運算和數乘外還存在內積和外積的關係：

內積：高中時即接觸過：描述的是向量間的投影關係:
外積：

第一個等於我們高中就接觸過，向量的叉乘（當時我們的老師是這樣叫的）後面的計算我完全忘記了，但肯定是對的。這裏的a爲一個向量，a^卻是一個矩陣了。（向量叉乘向量等於了矩陣與向量的乘法）

外積性質：

總結：

由旋轉向量到旋轉矩陣的計算：
由旋轉矩陣到旋轉向量的計算：

那到現在是不是就可以結束這一講了呢？可並沒有。。。。
高老師又提出了：
1）使用歐拉角可以方便我們直觀的去理解三維空間的旋轉。但是有萬向鎖的缺點，而在SLAM中也很少用歐拉角來表示旋轉，但是可以用來驗證自己的算法是否正確。
2）旋轉矩陣——冗餘；
旋轉向量——具有奇異性。

所以提出了四元數：四元數在表達三維空間的旋轉時，既是緊湊的，還沒有奇異性，所以引出了四元數。

對於四元數：
1）一個虛四元數可以對應一個空間點。
2）能用單位四元數表示空間中任意的一個旋轉。