數據結構（七） 圖

好，時隔好多好多日，終於到了第7章 圖 了！

1. 填空題

⑴ 設無向圖G中頂點數爲n，則圖G至少有（ ）條邊，至多有（ ）條邊；若G爲有向圖，則至少有（ ）條邊，至多有（ ）條邊。

答案：0，n(n-1)/2，0，n(n-1)
解析：
圖的頂點集合是有窮非空的，而邊集可以是空集；邊數達到最多的圖稱爲完全圖，在完全圖中，任意兩個頂點之間都存在邊。

⑵ 任何連通圖的連通分量只有一個，即是（ ）。

答案：其自身
解析：
連通分量：指的是無向圖中的極大連通子圖

⑶ 圖的存儲結構主要有兩種，分別是（ ）和（ ）。

答案： 鄰接矩陣，鄰接表

⑷ 已知無向圖G的頂點數爲n，邊數爲e，其鄰接表表示的空間複雜度爲（ ）。

答案：Ｏ(n+e)
解析：
在無向圖的鄰接表中，頂點表有n個結點，邊表有2e個結點，共有n+2e個結點，其空間複雜度爲Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。

⑸ 已知一個有向圖的鄰接矩陣表示，計算第j個頂點的入度的方法是（ ）。

答案：第j列所有元素之和

vexs代表頂點，arcs代表鄰接矩陣
結合圖來看，第i個頂點的出度即爲第i行所有元素之和

⑹ 有向圖G用鄰接矩陣A[n][n]存儲，其第i行的所有元素之和等於頂點i的（ ）。

答案：出度

⑺ 對於含有n個頂點e條邊的連通圖，利用Prim算法求最小生成樹的時間複雜度爲（ ），利用Kruskal算法求最小生成樹的時間複雜度爲（ ）。

答案：Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e)
解析：
Prim算法採用鄰接矩陣做存儲結構，適合於求稠密圖的最小生成樹；
Kruskal算法採用邊集數組做存儲結構，適合於求稀疏圖的最小生成樹。
好吧，我就猜你不知道稀疏圖和稠密圖的劃分

(8) 在一個有向圖中，若存在弧<vi, vj>、<vj, vk>、<vi, vk>，則在其拓撲序列中，頂點vi, vj, vk的相對次序爲（ ）。

答案：vi, vj, vk
解析：對由頂點vi, vj, vk組成的圖進行拓撲排序。

步驟：
1、在有向圖中選一個沒有前驅的頂點且輸出之
2、從圖中刪除該頂點和所有以它爲尾的弧

2. 選擇題

（1）在一個無向圖中，所有頂點的度數之和等於所有邊數的（ ）倍。

A 、1/2
B、 1
C、 2
D、 4

答案：C
解析：
來，你動動手隨便畫一個圖出來，看看到底是不是2倍。

（2）n個頂點的強連通圖至少有（　　）條邊，其形狀是（ ）。

A、 n
B、 n+1
C、 n-1
D 、n×(n-1)
E 、無迴路　　　F 、有迴路　 　G、環狀　　 　H 、樹狀

答案：A和G
解析：
強連通圖必須從任何一點出發都可以回到原處,
每個節點至少要一條出路(單節點除外)
至少有n條邊,正好可以組成一個環

（3）含n 個頂點的連通圖中的任意一條簡單路徑，其長度不可能超過（ ）。

A、 1
B、 n/2
C、 n-1
D、 n

答案：C
解析：
連通圖：對於圖中任意兩個頂點A和B，都是連通的，即有路徑可以從A點到B點。
簡單路徑：序列中頂點不重複的路徑，即沒有迴路。

（4）對於一個具有n個頂點的無向圖，若採用鄰接矩陣存儲，則該矩陣的大小是（ ）。

A 、n
B 、(n-1)2
C、 n-1
D 、n2

答案：D（n的平方）
解析：
好像就是n*n，就這麼不講道理

（5）圖的生成樹（　　），n個頂點的生成樹有（ ）條邊。

A、 唯一 　　　　B、 不唯一　　 　C 唯一性不能確定
D 、n
E、 n +1
F 、n-1
答案：C和F
解析：

這個就是最小生成樹，可以由prim算法或者kruskal算法得出，根據其過程可以想象唯一性是不確定的。

（6）對如圖所示的無向連通網圖從頂點d開始用Prim算法構造最小生成樹，在構造過程中加入最小生成樹的前4條邊依次是（ ）。

A 、(d, f)4, (f, e)2, (f, b)3, (b, a)5
B、 (f, e)2, (f, b)3, (a,c)3, (f, d)4
C、 (d, f)4, (f, e)2, (a, c)3, (b, a)5
D 、(d, f)4, (d, b)5, (f, e)2, (b, a)5

答案：A
解析：
需要執行Prim算法，其簡便做法如下：先將頂點d塗黑，然後選取一個頂點塗黑另一個頂點未塗黑的權值最小的邊，爲(d, f)4；然後將頂點f塗黑，選取一個頂點塗黑另一個頂點未塗黑的權值最小的邊，爲(f, e)2；然後將頂點e塗黑，再選取一個頂點塗黑另一個頂點未塗黑的權值最小的邊，爲(f, b)3或(e, b)3；然後將頂點b塗黑，再選取一個頂點塗黑另一個頂點未塗黑的權值最小的邊，爲(b, a)5。
（7）設有如圖所示的AOE網，則事件v4的最早開始時間是（ ），最遲開始時間是（ ），該AOE網的關鍵路徑有（ ）條。

A 、11
B、 12
C 、13
D 、14
E 、1
F、 2
G、 3
H、 4

答案：C，C，F
解析：
事件v4的最早開始時間是從頂點v1到v4的最長路徑長度13，事件v4的最遲開始時間=min{事件v6的最遲發生時間-11, 事件v5的最遲發生時間-9}={24-11, 22-9}=13。該AOE網的兩條關鍵路徑如圖所示。

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