图像处理作业第7次
姓名:蔡少斐
学号:2019E8013261007
单位:计算技术研究所
1.请根据课本中Z变换的定义,证明如下结论。
-
(1)若x(n)的Z变换为X(z),则(−1)nx(n)的Z变换为X(−z)
根据Z变换的定义 X(z)=∑x(n)z−n,∑(−1)nx(n)z−n=∑x(n)(−z)−n=X(−z)。
-
(2)若x(n)的Z变换为X(z),则x(−n)的Z变换为X(z1)
根据Z变换的定义 X(z)=∑x(n)z−n,∑x(−n)z−n=∑x(n)z−(−n)=∑x(n)(z1)−n=X(z1)。
-
(3)若x(n)的Z变换为X(z),证明:xdown(n)=x(2n)↔Xdown(z)=1/2[X(z1/2)+X(−z1/2)]
根据Z变换的定义可知:Xdown(z)=∑xdown(n)z−n=∑x(2n)z−n=∑1/2[x(2n)(z1/2)−2n+x(2n)(−z1/2)−2n]=∑1/2[x(2n)(z1/2)−2n+x(2n)(−z1/2)−2n]+∑1/2[x(2n−1)(z1/2)−(2n−1)+x(2n−1)(−z1/2)−(2n−1)]=1/2[X(z1/2)+X(−z1/2)]。
2.证明:
- 若G1(z)=−z−2k+1G0(−z−1),证明:g1(n)=(−1)ng0(2k−1−n)
−z2k+1G0(−z−1)↔∑g0(n)(−z−1)−n(−z−2k+1)=∑g0(n)(−1)n+1zn−2k+1
令−t=n−2k+1
那么
∑g0(n)(−1)n+1zn+2k+1=∑g0(2k−1−t)(−1)2k−tz−t
将t换成n,得到:
∑(−1)ng0(2k−1−n)z−n
因此g1(n)=(−1)ng0(2k−1−n)
3.假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的,并以此为基础,推导h0,h1的关系。
当满足如下式子时:
g1(n)=(−1)ng0(2k−1−n)
hi(n)=gi(2k−1−n),i={0,1}
h0(n)=g0(2k−1−n)→g0(n)=h0(2k−1−n)
h1(n)=g1(2k−1−n)=(−1)2k−1−ng0(2k−1−(2k−1−n))=(−1)n+1g0(n)=(−1)n+1h0(2k−1−n)
是故
h1(n)=(−1)n+1h0(2k−1−n)
4. 哈尔小波
截图显示:
41⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1120200022000000011202000−2200000001120−20000220000001120−20000−2200000011−20020000220000011−20020000−220000011−200−20000022000011−200−200000−2200001−10200200000220001−10200200000−220001−10200−200000022001−10200−2000000−22001−10−200020000002201−10−20002000000−2201−10−2000−20000000221−10−2000−20000000−22⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤