數據結構與算法之 “排序”

一、概述

排序算法中最經典的、最常用的：冒泡排序、插入排序、選擇排序、歸併排序、快速排序、計數排序、基數排序、桶排序。

1.1、如何分析一個“排序算法”？

學習排序算法，除了學習它的算法原理、代碼實現之外，更重要的是要學會如何評價、分析一個排序算法。下面是衡量的幾個方面。

• 排序算法的執行效率
  • 最好情況、最壞情況、平均情況時間複雜度
    在分析排序算法的時間複雜度時，要分別給出最好情況、最壞情況、平均情況下的時間複雜度。除此之外，還要說出最好、最壞時間複雜度對應的要排序的原始數據是什麼樣的。
    爲什麼要區分這三種時間複雜度呢？
    第一，有些排序算法會區分，爲了好對比，所以我們最好都做一下區分。第二，對於要排序的數據，有的接近有序，有的完全無序。有序度不同的數據，對於排序的執行時間肯定是有影響的，我們要知道排序算法在不同數據下的性能表現。
  • 時間複雜度的係數、常數 、低階
    時間複雜度反應的是數據規模 n 很大的時候的一個增長趨勢，所以它表示的時候會忽略係數、常數、低階。但是實際的軟件開發中，我們排序的可能是 10 個、100 個、1000 個這樣規模很小的數據，所以，在對同一階時間複雜度的排序算法性能對比的時候，我們就要把係數、常數、低階也考慮進來。
  • 比較次數和交換（或移動）次數
    基於比較的排序算法的執行過程，會涉及兩種操作，一種是元素比較大小，另一種是元素交換或移動。所以，如果我們在分析排序算法的執行效率的時候，應該把比較次數和交換（或移動）次數也考慮進去。
• 排序算法的內存消耗
  算法的內存消耗可以通過空間複雜度來衡量，排序算法也不例外。不過，針對排序算法的空間複雜度，我們還引入了一個新的概念，原地排序（Sorted in place）。原地排序算法，就是特指空間複雜度是 O(1) 的排序算法。
• 排序算法的穩定性
  如果待排序的序列中存在值相等的元素，經過排序之後，相等元素之間原有的先後順序不變。這種排序算法叫作穩定的排序算法；如果前後順序發生變化，那對應的排序算法就叫作不穩定的排序算法。
  爲什麼要考察排序算法的穩定性呢？
  在真正軟件開發中，我們要排序的往往不是單純的整數，而是一組對象，我們需要按照對象的某個 key 來排序。比如先對對象的某個元素排序，然後再對另一個元素排序，只有使用排序算法纔是有意義的。

二、排序算法

首先看看三種時間複雜度爲 O(n2) 的排序算法，冒泡排序、選擇排序，可能就純粹停留在理論的層面了，學習的目的也只是爲了開拓思維，實際開發中應用並不多，但是插入排序還是挺有用的。
但是實現代碼都非常簡單，對於小規模數據的排序，用起來非常高效。但是在大規模數據排序的時候，這個時間複雜度還是有點高，

2.1、冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡這個詞用的很生動，每一輪使最值像水泡一樣冒出來，剩下的值繼續冒泡，每一輪都能得到剩下值的最值，n次後就能將所有的數據排序。

冒泡排序只會操作相鄰的兩個數據。每次冒泡操作都會對相鄰的兩個元素進行比較，看是否滿足大小關係要求。如果不滿足就讓它倆互換。一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該在的位置，重複 n 次，就完成了 n 個數據的排序工作。

當然冒泡排序可以優化：當某次冒泡操作已經沒有數據交換時，說明已經達到完全有序，不用再繼續執行後續的冒泡操作
代碼實現：

// 冒泡排序，a 表示數組，n 表示數組大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡循環的標誌位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交換
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有數據交換      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 沒有數據交換，提前退出
  }
}

冒泡排序是原地排序算法、穩定的排序算法，時間複雜度就是 O($n^2$)。

2.2、插入排序（Insertion Sort）

一個有序的數組，我們往裏面添加一個新的數據後，如何繼續保持數據有序呢？
很簡單，我們只要遍歷數組，找到數據應該插入的位置將其插入即可。
這是一個動態排序的過程，即動態地往有序集合中添加數據，我們可以通過這種方法保持集合中的數據一直有序。而對於一組靜態數據，我們也可以借鑑上面講的插入方法，來進行排序，於是就有了插入排序算法。

插入排序具體是如何藉助上面的思想來實現排序的呢？

首先，我們將數組中的數據分爲兩個區間，已排序區間和未排序區間。初始已排序區間只有一個元素，就是數組的第一個元素。插入算法的核心思想是取未排序區間中的元素，在已排序區間中找到合適的插入位置將其插入，並保證已排序區間數據一直有序。重複這個過程，直到未排序區間中元素爲空，算法結束。

比如：要排序的數據是 4，5，6，1，3，2，其中左側爲已排序區間，右側是未排序區間。

插入排序也包含兩種操作，一種是元素的比較，一種是元素的移動。當我們需要將一個數據 a 插入到已排序區間時，需要拿 a 與已排序區間的元素依次比較大小，找到合適的插入位置。找到插入點之後，我們還需要將插入點之後的元素順序往後移動一位，這樣才能騰出位置給元素 a 插入。

對於不同的查找插入點方法（從頭到尾、從尾到頭），元素的比較次數是有區別的。但對於一個給定的初始序列，移動操作的次數總是固定的，就等於逆序度。

// 插入排序，a 表示數組，n 表示數組大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    // 查找插入的位置
    for (; j >= 0; --j) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j];  // 數據移動
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; // 插入數據
  }
}

插入排序是原地排序算法、穩定的排序算法，時間複雜度爲 O($n^2$)。

2.3、選擇排序（Selection Sort）

選擇排序算法的實現思路有點類似插入排序，也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，將其放到已排序區間的末尾。

選擇排序空間複雜度爲 O(1)，是一種原地排序算法。選擇排序的最好情況時間複雜度、最壞情況和平均情況時間複雜度都爲 O(n2)。選擇排序是一種不穩定的排序算法。從前面畫的那張圖中，選擇排序每次都要找剩餘未排序元素中的最小值，並和前面的元素交換位置，這樣破壞了穩定性。正是因此，相對於冒泡排序和插入排序，選擇排序就稍微遜色了。

2.4、爲什麼插入排序要比冒泡排序更受歡迎呢？

冒泡排序和插入排序的時候講到，冒泡排序不管怎麼優化，元素交換的次數是一個固定值，是原始數據的逆序度。插入排序是同樣的，不管怎麼優化，元素移動的次數也等於原始數據的逆序度。
從代碼實現上來看，冒泡排序的數據交換要比插入排序的數據移動要複雜，冒泡排序需要 3 個賦值操作，而插入排序只需要 1 個（冒泡需要一個變量作來臨時處理）。我們來看這段操作：

冒泡排序中數據的交換操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交換
   int tmp = a[j];
   a[j] = a[j+1];
   a[j+1] = tmp;
   flag = true;
}
 
插入排序中數據的移動操作：
if (a[j] > value) {
  a[j+1] = a[j];  // 數據移動
} else {
  break;
}

雖然冒泡排序和插入排序在時間複雜度上是一樣的，都是 O(n2)，但是如果希望把性能優化做到極致，那肯定首選插入排序。

2.4、歸併排序（Merge Sort）

歸併排序的核心思想還是蠻簡單的。如果要排序一個數組，我們先把數組從中間分成前後兩部分，然後對前後兩部分分別排序，再將排好序的兩部分合並在一起，這樣整個數組就都有序了。