矩陣知識：矩陣乘法、單位矩陣、數量矩陣、初等矩陣、行等價

原創

kking_edc

2020-06-22 19:39

一、從高斯消元法到矩陣乘法：

1.1 高斯消元法

假設存在如下的方程：

將方程化爲如下的形式是高斯消元法的目標：
$\begin{cases} R=?\\G=?\\B=? \end{cases}$

思路：
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一個元素：

接着利用第二行消去第三行的第二個元素：

接着反過來，用第三行消去第一行和第二行的第三個元素：

接着用第二行消去第一行的第二個元素：

最後達到目標：

1.2 用增廣矩陣描述高斯消元法

假設方程爲：

則增廣矩陣爲：

整個過程可以描述爲：

1.3 利用矩陣乘法：

上述過程的第一次運算用矩陣乘法可以描述爲：

多行乘法：

這一步實際表達了兩個過程：

第一行不變： $r_1'=r_1$
第二行改變： $r_2'=r_2-3r_1$

用矩陣乘法則表示爲：

所以利用矩陣乘法，整個高斯消元法就可以表示如下：

https://www.matongxue.com/madocs/755.html

二、如何理解矩陣乘法：

一個正確的觀點是將矩陣看成是函數，這樣很多疑惑就可以迎刃而解。

2.1 矩陣是一個函數：

直線函數與矩陣：
我們熟悉的直線函數 $ax=y$ 把 $(x,0)$ 點映射到 $(0,ax)$ 點：

我們通過矩陣 $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ 也可以完成這個映射，令：
$A=\begin{pmatrix} 0&1\\a&0 \end{pmatrix}$
則：

矩陣的優點：
對於 $ax=y,x\in R,y\in R$ 只能完成從實數到實數的映射：
$x\to y\implies R\to R$
但是： $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}\in R^n,\overrightarrow{y}\in R^m$ 可以完成更廣泛的映射：
$\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{y}\implies R^n\to R^m$
爲了完成這點，矩陣 $A$ 就不再是係數a了，而是一個函數（或者說是映射）
假設 $\overrightarrow{x}$ 所在平面爲 $v$ ，而 $\overrightarrow{y}$ 所在平面爲 $W$ ， $\overrightarrow{x}$ 通過矩陣 $A$ 映射到了 $\overrightarrow{y}$ ，可以如下表示：

A這個映射的特別之處是，V上的直線通過A映射到W上依然是直線，所以矩陣也被稱爲線性映射。

2.2 矩陣作爲函數的工作方式：

將之前表示線性映射的3D圖變爲2D圖：

爲了繪圖方便， $\overrightarrow{x}$ 所在平面V， $\overrightarrow{y}$ 所在平面W，都是二維平面，即 $R^2$

座標：
研究線性映射，最重要的是搞清楚當前處在哪個基下，首先看：

$\overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{y}$ 的基默認爲各自空間向量空間下的自然基，其自然基爲（即 $R^2$ 下的自然基）：

所以可以得到：

如下圖所示：

映射法則的工作原理：
爲了說清映射法則A是怎麼工作的，將A用一個空間表示，V會通過A映射到W：
設： $A=(\overrightarrow{c_1}\quad\overrightarrow{c_2})$
整個映射過程如下所示：

根據矩陣乘法的規則可以得到（可以理解爲 $\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$ 兩個向量的一個線性組合）：

則 $A\overrightarrow{x}$ 相當於在A空間中，以 $\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$ 爲基，座標爲 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ 的向量：

再將 $A\overrightarrow{x}$ 向量用自然基表示：

整體來說，就是基改變，導致向量的座標發生改變：