埃及分數問題-IDDFS

本文轉自http://blog.csdn.net/u014800748/article/details/47376435

迭代加深搜索(IDDFS)的思想

迭代加深搜索一般用來求解狀態樹“非常深”，甚至深度可能趨於無窮，但是“目標狀態淺”的問題。如果用普通的DFS去求解，往往效率不夠高。此時我們可以對DFS進行一些改進。最直觀的一種辦法是增加一個搜索的最大深度限制maxd，一般是從1開始。每次搜索都要在maxd深度之內進行，如果沒有找到解，就繼續增大maxd，直到成功找到解，然後break。

如下圖所示，如果用DFS，需要15步才能找到結點3，但是用迭代加深搜索，很快即可找到結點3。

在使用迭代加深搜索時，通常還要引入一個估價函數h()，來預測從當前深度還有至少多少步才能到達目標狀態。假設當前在第cur層，當cur+h(cur)>maxd時候，就說明不論怎麼走，都不可能在maxd的限制之內找到目標狀態，此時就可以進行“剪枝”操作。這樣的和帶有估價函數的迭代加深搜索就是IDA*算法。爲了更好的理解該算法，下面以“埃及分數”這一經典的例子來作爲說明。

埃及分數問題

在古埃及，人們使用單位分數的和（即1/a,a是自然數）來表示一切有理數，例如，2/3=1/2+1/6，但是不允許2/3=1/3+1/3，因爲在加數中不允許有相同的。對於一個分數a/b，表示的方法有很多種，其中加數少的比加數多的好，如果加數個數相同，那麼最小的分數越大越好。例如，19/45=1/5+1/6+1/18是最優方案。

輸入兩個整數a,b(0<a<b<500)，試編程計算最佳表達式。

樣例輸入：

495 499

樣例輸出：

Case 1： 495/499=1/2+1/5+1/6+1/8+1/3992+1/14970

問題分析

首先，根據題意可以發現，本題的解答樹非常的龐大，不僅深度沒有明顯的上界，而且在理論上加數的選擇也是無限的，即每一層的結點數量也是無限的。這樣的話，如果使用普通的BFS，第一層都擴展不完。然而本題要實現兩個目標：1.加數的個數儘量少。2.最小的那個分數儘量大，即最大的分母儘量小。

爲了實現第一個目標，我們自然想到可以逐一枚舉可能的個數，設maxd表示一共有maxd+1個分數相加恰好等於a/b（下標從0開始），按照這樣的思路，一定可以找到加數最少的解。

接下來考慮如何實現第二個目標。第二個目標其實是在告訴我們如果存在多解的時候，要更新當前找到的最優解。這裏容易犯的一個錯誤是：找到了解之後立即全部return true。這樣的寫法只能實現目標1，並沒有真正實現目標2。

那麼自然會問：那正確的做法是什麼？正確的做法應該是找到了一組解後，繼續返回上一層繼續新的搜索。假設當前已經在第cur層，即0~cur的所有的分母都已經確定了，剩下的分數還需要aa/bb，再假設我們此時需要從分母i>=from的數開始尋找，不難發現，如果(maxd+1-d)*(1/i)≤aa/bb，即剩下的分數全部都爲1/i時候，他們的和纔剛好等於aa/bb。而實際情況是：分母不允許重複出現，即實際的和肯定小於(maxd+1-d)*(1/i)，這個時候如果i繼續增加，(maxd+1-d)*(1/i)只會更小於aa/bb，情況更糟糕，因此在此處應該停止枚舉。這樣，我們就分析出來了正確的停止搜索的條件：當出現(maxd+1-d)*(1/i)≤aa/bb時，break。

通過以上分析，我們還確定出來了dfs時候的入口參數: cur表示當前在第cur層，from表示第cur層分母的起點， aa表示剩下的分數的分子，bb表示剩下的分數的分母。即dfs(cur,from,aa,bb)。至此，本題的算法的整體框架已經分析完畢了，我們成功地利用IDA*算法解決了這道經典例題。

代碼：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int, int> P;



int maxd;
const int N = 1000;
int ans[N];
int v[N];

int get_first(int x, int y)//找到第一個小於x/y的單位分數的分母
{
    int res = y / x;
    return res*x >= y ? res : res + 1;
}

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

bool better(int d)//更新當前的解
{
    for (int i = d; i >= 0; i--)//由於分母是由小到大存儲的，因此逆序枚舉
    if (v[i] != ans[i])
        return ans[i] == -1 || v[i]<ans[i];
    return false;
}
bool dfs(int d, int from, ll aa, ll bb)
{
    if (d == maxd)
    {
        if (bb%aa)return false;//如果不能整除，搜索失敗
        v[d] = bb / aa;        //不要忽略最後一個分母
        if (better(d))memcpy(ans, v, sizeof(ll)*(d + 1));
        return true;
    }
    bool ok = false;
    from = max(from, get_first(aa, bb));//更新from這一步容易忽略,假設第d-1個分數的分母是a,第d個分數的分母不一定要從a+1開始，還要考慮1/(a+1)是否小於等於aa/bb
    for (int i = from;; i++)
    {
        if (bb*(maxd + 1 - d) <= i*aa)break;//此處纔是正確的停止枚舉的條件
        v[d] = i;//枚舉新的分母
        ll b2 = bb*i;//計算aa/bb-1/i的分子，分母
        ll a2 = aa*i - bb;
        ll g = gcd(a2, b2);//計算最大公約數，進行約分
        if (dfs(d + 1, i + 1, a2 / g, b2 / g))ok = true;//注意，不要寫成return true，因爲找到一組解並不能當做停止枚舉的條件
    }
    return ok;//返回從第cur層到maxd層是否成功找到了解，ok一旦爲true就一直是true
}
int main()
{
    int a, b;
    int rnd = 0;
    while (~scanf("%d%d", &a, &b))
    {
        int ok = 0;
        for (maxd = 1;; maxd++)//迭代加深搜索的主體框架，maxd要設置爲全局變量
        {
            memset(ans, -1, sizeof(ans));//開始新一輪搜索時不完整的答案要清空
            if (dfs(0, get_first(a, b), a, b))
            {
                ok = 1;
                break;
            }
        }
        printf("Case %d: %d/%d=", ++rnd, a, b);
        for (int i = 0; i <= maxd; i++)
        {
            if (i)printf("+");
            printf("1/%d", ans[i]);
        }
        printf("\n");
    }
}