漢諾塔通項公式證明

漢諾塔通項公式

漢諾塔問題家傳戶曉，其問題背景不做詳述，此處重點講解在有3根柱子的情況下，漢諾塔問題求解的通項公式的推導。

問題背景：有A，B和C三根柱子，開始時n個大小互異的圓盤從小到大疊放在A柱上，現要將所有圓盤從A移到C，在移動過程中始終保持小盤在大盤之上。求移動盤子次數的最小值。
變量設置：n爲圓盤個數，H（k）爲n=k時移動盤子次數的最小值。
遞推公式： H（k）=2H（k-1）+1。
通項公式：H（k）=2^k-1。
證明：
（1）證明遞推公式：首先被移動到C盤的必定是最大的盤子，否則必定違反“在移動過程中始終保持小盤在大盤之上”的規定。既然要將最大盤移動到C，此時最大盤之上必定沒有任何盤子，亦即它獨自在一根柱子上，要做到這點最優做法當然是先把較小的n-1個盤子由A移動到B，剩下最大盤獨自在A。將n-1個盤由A移動到B花費的最少次數爲H（n-1）。此時再將最大盤由A移動到C，此時移動總次數爲H（n-1）+1。接着把剩下的n-1個盤由B移動到C，花費的最少次數當然也是H（n-1）。於是得到總移動次數2H（n-1）+1.證得H（k）=2H（k-1）+1。

（2）推導通項公式。由H（k）=2H（k-1）+1得H(k)+1=2(H(k-1)+1)，於是{H(k)+1}是首項爲H(1)=1，公比爲2的等比數列，求得H(k)+1 = 2^k，所以H(k) = 2^k-1