題目大意
給定兩個同心圓，外面的圓表示的是一個區域，裏面的圓是一個圍牆，現在在圓形區域外某個點，以某個方向的速度發射一個硬幣，使硬幣做勻速直線運動，已知硬幣撞上圓形圍牆時會發生無能量損失的反彈，反彈的方式爲鏡面反射，硬幣的任何部分在圓形區域內的時間。
解題思路
首先，對於我們所求的問題，求時間的話，只需要知道兩個量，一個是硬幣在圓形區域中經歷的長度，另一個是速度，速度已經給定，而且明確說了沒有能量損失，長度就需要我們自己求了。
次解（精度損失極大）
有一個非常直觀的想法——首先，我們求出來速度所在的那個方向的直線與圓心的距離，這樣就很容易能判斷出來到底硬幣有沒有發生反彈，然後，對於反彈和沒反彈分情況討論即可。
對於沒反彈的，很簡單，丟出來硬幣什麼時候和外圓外切，然後與上述直線與圓心的距離做一個勾股定理，就能求出來長度，除以速度的模即可
對於反彈的，反彈前可以求出來它走了多遠，仍然用勾股定理，我們求出來它碰到小圓的時候圓心所在的位置，然後就能想辦法求出來反彈後速度的方向，經過旋轉，然後再求出來另一部分即可。
——這個是高中生的做法……在程序設計裏面，精度誤差無法挽回，這也是我一直WA的原因……
次解改良版（精度損失仍然大但是可以通過卡精度來解決）
然後有一個改進，對於反彈後，我們大可不必那麼麻煩，爲啥呢？因爲我們可以得知，反彈前和反彈後在圓形區域裏面的長度實際上是完全對稱的。由於碰撞點所在的位置是與圓形區域同圓心的圓上，那麼碰撞點一定是它所在的大圓區域的割線一定是大圓區域的中點，在中點發生了鏡面反射，那麼一定是對稱的（如下圖）。![]()
那麼我們就可以得知，把前面求出來的東西乘以個2就可以了嘛……
但是實際上這個精度還是大問題，還是會被卡……
正解（精度損失小，可隨心所欲）
於是乎就出現了一個神乎其神的算法（來自董適），把外面的大圓和裏面的小圓的半徑全都加上硬幣半徑r，那麼就可以把硬幣看做一個在其圓心上面的質點，問題瞬間就簡單了……求出來速度所在的直線在大圓的割線和在小圓的割線，一減就是結果……
於是乎，現場賽裏面，不會控制精度且智商不夠的我就一直掛着這道題……
參考代碼（ZOJ已AC）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const double eps = 1e-9;
int dblcmp(double x){
if (fabs(x) < eps) return 0;
return x > 0 ? 1 : -1;
}
const double pi = acos(-1.0);
inline double sqr(double x){
return x * x;
}
struct Point2D{
double x, y;
Point2D(){}
Point2D(double a, double b) :
x(a), y(b){}
void input(){scanf("%lf%lf", &x, &y);}
void output(){printf("%.3lf %.3lf\n", x, y);}
Point2D operator + (const Point2D &a)const{return Point2D(a.x + x, a.y + y);}
Point2D operator - (const Point2D &a)const{return Point2D(x - a.x, y - a.y);}
Point2D operator * (const double &a)const{return Point2D(x * a, y * a);}
Point2D operator / (const double &a)const{return Point2D(x / a, y / a);}
bool operator == (const Point2D &a)const{return dblcmp(x - a.x) == 0 && dblcmp(y - a.y) == 0;}
double len(){return hypot(x, y);}
};
double det(const Point2D &a, const Point2D &b){return a.x * b.y - a.y * b.x;}
double dot(const Point2D &a, const Point2D &b){return a.x * b.x + a.y * b.y;}
double dist(const Point2D &a, const Point2D &b){return (a - b).len();}
Point2D rotate(const Point2D &p, double a){
double tx = p.x, ty = p.y;
return Point2D(tx * cos(a) - ty * sin(a), tx * sin(a) + ty * cos(a));
}
typedef Point2D Vector2D;
struct Line2D{
Point2D a, b;
Line2D(){}
Line2D(Point2D x, Point2D y) :
a(x), b(y){}
};
Point2D l2l_inst_p(Line2D a, Line2D b){
double s1 = det(a.a - b.a, b.b - b.a);
double s2 = det(a.b - b.a, b.b - b.a);
Point2D res = (a.b * s1 - a.a * s2) / (s1 - s2);
return res;
}
void l2c_inst_p(Point2D c, double r, Point2D l1, Point2D l2, Point2D &p1, Point2D &p2){
Point2D p = c;
double t;
p.x += l1.y - l2.y;
p.y += l2.x - l1.x;
p = l2l_inst_p(Line2D(p, c), Line2D(l1, l2));
t = sqrt(sqr(r) - sqr(dist(p, c))) / dist(l1, l2);
p1.x = p.x + (l2.x - l1.x) * t;
p1.y = p.y + (l2.y - l1.y) * t;
p2.x = p.x - (l2.x - l1.x) * t;
p2.y = p.y - (l2.y - l1.y) * t;
}
double p2l_dist(Point2D p, Point2D s, Point2D t){
return fabs(det(s - p, t - p)) / dist(s, t);
}
Point2D ini; Vector2D v;
double r1, r2, r;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "rt", stdin);
#endif
while(~scanf("%lf", &r1)){
scanf("%lf%lf", &r2, &r);
ini.input(); v.input();
if (dot(ini, v) >= 0){
puts("0.000"); continue;
}
double vv = v.len();
r1 += r; r2 += r;
Point2D c = Point2D(0, 0);
double mind = p2l_dist(c, ini, ini + v);
if (dblcmp(mind - r2) >= 0){
puts("0.000"); continue;
}else if (dblcmp(mind - r1) >= 0){
Point2D inter1, inter2;
l2c_inst_p(c, r2, ini, ini + v, inter1, inter2);
double l = dist(inter1, inter2);
printf("%.3lf\n", l / vv);
}else if (dblcmp(mind - r1) < 0){
Point2D inter1, inter2, inter3, inter4;
l2c_inst_p(c, r2, ini, ini + v, inter1, inter2);
l2c_inst_p(c, r1, ini, ini + v, inter3, inter4);
double l = dist(inter1, inter2), l1 = dist(inter3, inter4);
double ans = (l - l1) / vv;
printf("%.3f\n", ans);
}
}
return 0;
}