總述：數學分析研究的基本對象是定義在實數集上的函數
實數及其性質
相關聲明：
1，爲了討論需要，將有限小數也表示爲無限小數的形式。
eg：8 = 7.99999999… // -8 = -7.999999… // 0 = 0.000000…
2,將全體實數的集合記爲R，即R= {x|x爲實數}
一條定好了原點O和方向和單位長度的直線，稱爲數軸。任一實數都對應數軸商唯一一個點。因此“實數a”和“數軸上的點a”常常有相同意義
實數的定義：無理數和有理數統稱爲實數。
- 有理數定義：可以用分數p/q（p, q爲整數，q != 0)表示，也可以使用有限小數或者無限循環小數來表示
- 無理數定義：無限不循環小數稱爲無理數
實數的大小關係
|| 定義一：x = a0.a1a2…an… ，y = b0.b1b2…bn…，其中a0，b0爲非負整數，0 <= ak，bk <= 9
- 若ak = bk, (k = 0,1,2,…) 則稱x與y相等，記爲x = y；
- 若ak = bk,(k = 0,1,2…,l )，而al+1 > bl+1 ,則記爲x > y
- 若ak = bk,(k = 0,1,2…,l)，而al+1 < bl+1 ,則記爲x < y
|| 定義二：實數和有理數的近似關係
-
設x = a0.a1a2…an… 爲非負實數，則稱有理數xn = a0.a1a2…an爲實數x的n位不足近似，而有理數 |xn = xn + 1/10n，稱爲x的n位過剩近似
-
設x = a0.a1a2…an… 爲負實數，則稱有理數|xn = a0.a1a2…an爲實數x的n位過剩近似，而有理數 xn = xn - 1/10n，稱爲x的n位不足近似
實數的主要性質
- 實數集R對於加減乘除的四則運算是封閉的，即任意兩個實數的和，差，積商爲實數
- 實數集是有序的，即任意兩個實數a,b都會滿足三個關係之一： < , =, >
- 實數的大小關係具有傳遞性
- 實數具有阿基米德性 —> 即對任何a，b∈R，若b>a>0,則存在正整數n，使得na>b
- 實數集R具有稠密性(介值性？)，兩個不等的實數之間必定存在有另一個實數
絕對值和不等式
|| 實數a的絕對值定義：
從數軸上看，數a的絕對值|a|就是a到遠點的距離
|| 實數a的絕對值 |a| 的性質：（注意第四條性質的證明）
數集-確界原理
區間的定義：
鄰域的定義：
有界集-確界原理
|| 定義一：上下界的定義
設S⊂R，若存在數M，使得對一切x∈S，都有x <= M,則稱S爲有上界的數集，M爲S的一個上界
設S⊂R，若存在數L，使得對一切x∈S，都有x >= L,則稱S爲有下界的數集，L爲S的一個下界
若數即S既有上界又有下界，則稱S爲有界集，反之稱爲無界集
|| 定義二：上下確界的定義
設S⊂R，若M滿足以下兩個條件則稱之爲上確界
1，對一切x∈S，都有x <= M。（即M是S的上界）
2，對一切m<M，都會存在x0∈S，使得x0>m（即M是S的最小上界）
|| 定理1：確界定理
設S爲非空數集，若S有上界，則S必有上確界 / 若S有下界，則必有下確界
|| 當±∞也看作確界（非正常確界）時，有推廣的確界定理：非空數集必有上，下確界（正常或非正常確界）
函數的概念
|| 定義一： 給定兩個實數集D和M，若有對應法則f，使得對D中的每個數x都有唯一的y∈M與之對應，則稱f是數集D上的函數。記作： f : D --> M
定義域，值域，自變量，因變量，單值對應(映射)，象(y)，原象(x)
|| 函數的表示法：解析法，列表法，圖像法
|| 函數的運算
- 四則運算
- 複合運算(複合函數)
|| 反函數：f 與 f-1互爲反函數
|| 基本初等函數：
- 常量函數
- 冪函數
- 指數函數
- 對數函數
- 三角函數
- 反三角函數
|| 初等函數：由基本初等函數經過有限次的四則運算與複合運算所得到的函數，統稱爲初等函數
某些特殊函數
|| 有界函數（上界函數/下界函數）
|| 單調函數（增函數/嚴格增函數/減函數/嚴格減函數）
定義：單調函數的定義
定理：反函數的嚴格單調同步性
若y爲嚴格增(減)函數，則f必有反函數f-1在定義域f(D)上也是單調增(減)函數
|| 奇偶函數
定義：奇偶函數的定義
奇函數：設D爲對稱於原點的數集，f爲定義在D上的函數，若對每一個x∈D有 -f(-x) = f(x)
偶奇函數：設D爲對稱於原點的數集，f爲定義在D上的函數，若對每一個x∈D有 f(-x) = f(x)
|| 週期函數
定義：週期函數的定義
設f爲定義在數集D上的函數，若存在T>0,使得對於一切f（x+T） = f（x），則稱f爲週期函數，T爲f的一個週期