欧拉回路的基本概念

欧拉回路相关定义：

|| 如果图G（有向图或者无向图）中有一条通路，该通路上所有边一次且仅有一次行遍所有顶点，那么这条通路称为欧拉通路

|| 如果图G中所有边一次且仅有一次行遍所有顶点，称图G有欧拉回路

|| 具有欧拉回路的图称为欧拉图，不具有欧拉回路但具有欧拉通路的图称为半欧拉图

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欧拉回路的定理和推论：

|| 无向图G存在欧拉通路的充要条件为: G为连通图，且G有0或2个奇度节点( 度数为奇度的节点)

|| 推论1：当无向图G只有两个奇度节点时，那么其中的欧拉通路以这两个节点为端点

|| 推论2：当无向图G没有奇度节点时，那么G必有欧拉回路

|| 推论3：无向图G为欧拉图的充要条件是：G为连通图，且G有0个奇度节点

|| 有向图G存在欧拉通路的充要条件为：（为了好记忆把出度入度不相等的点命名为“异点”）
D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。

|| 简化：D为连通有向图，且有0个或者2个异点（且这两两个异点的出入度差分别为±1）

|| 推论1： 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。

|| 推论2： 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

|| 推论3： 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。

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欧拉回路的求解

|| DFS搜索求解欧拉回路：
基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每一条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int ans[200];
int top;
int N,M;
int mp[200][200];
void dfs(int x)
{
    int i;
    top++;
    ans[top]=x;
    for (i=1; i<=N; i++)
    {
        if(mp[x][i]>0)
        {
            mp[x][i]=mp[i][x]=0;///删除此边
            dfs(i);
            break;
        }
    }
}

void fleury(int x)
{
    int brige,i;
    top=1;
    ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中
    while(top>=0)
    {
        brige=0;
        for (i=1; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥）
        {
            if(mp[ans[top]][i]>0)///存在一条可以扩展的边
            {
                brige=1;
                break;
            }
        }
        if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈
        {
            printf("%d ", ans[top]);
            top--;
        }
        else     /// 否则继续搜索欧拉路径
        {
            top--;///为了回溯
            dfs(ans[top+1]);
        }
    }
}

int main()
{
    int x,y,deg,num,start,i,j;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    memset(mp,0,sizeof (mp));
    for(i=1;i<=M; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        mp[x][y]=1;
        mp[y][x]=1;
    }
    num=0;
    start=1;///这里初始化为1
    for(i=1; i<=N; i++)
    {
        deg=0;
        for(j=1; j<=N; j++)
        {
            deg+=mp[i][j];
        }
        if(deg%2==1)///奇度顶点
        {
            start=i;
            num++;
        }
    }
    if(num==0||num==2)
    {
        fleury(start);
    }
    else
    {
        puts("No Euler path");
    }
    return 0;
}

|| Fleury(佛罗莱)算法：（算法的关键是：能不走桥就不去走桥，实在无路可走了才去走桥）

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int ans[200];
int top;
int N,M;
int mp[200][200];
void dfs(int x)
{
    int i;
    top++;
    ans[top]=x;
    for (i=1; i<=N; i++)
    {
        if(mp[x][i]>0)
        {
            mp[x][i]=mp[i][x]=0;///删除此边
            dfs(i);
            break;
        }
    }
}

void fleury(int x)
{
    int brige,i;
    top=1;
    ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中
    while(top>=0)
    {
        brige=0;
        for (i=1; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥）
        {
            if(mp[ans[top]][i]>0)///存在一条可以扩展的边
            {
                brige=1;
                break;
            }
        }
        if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈
        {
            printf("%d ", ans[top]);
            top--;
        }
        else     /// 否则继续搜索欧拉路径
        {
            top--;///为了回溯
            dfs(ans[top+1]);
        }
    }
}

int main()
{
    int x,y,deg,num,start,i,j;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    memset(mp,0,sizeof (mp));
    for(i=1;i<=M; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        mp[x][y]=1;
        mp[y][x]=1;
    }
    num=0;
    start=1;///这里初始化为1
    for(i=1; i<=N; i++)
    {
        deg=0;
        for(j=1; j<=N; j++)
        {
            deg+=mp[i][j];
        }
        if(deg%2==1)///奇度顶点
        {
            start=i;
            num++;
        }
    }
    if(num==0||num==2)
    {
        fleury(start);
    }
    else
    {
        puts("No Euler path");
    }
    return 0;
}