斐波那契數列應用

什麼是斐波那契數列

斐波那契數列指的是這樣一個數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和

臺階問題

有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。

兔子問題

斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖爲例子而引入，故又稱爲“兔子數列”。
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對
兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對
三個月以後，老兔子又生下一對，因爲小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對

算法實現

function Fibonacci($num){
      if($num == 1){
            return  1;
    } else if ($num ==  2) {
            return  1;
    } else {
            return Fibonacci($num-1) + Fibonacci($num - 2);
    }
}

package main

import (
	"fmt"
)

func main(){
	fmt.Println(test(8))
}

func test(num int) int {
	if(num == 1){
		return 1
	} else if (num == 2) {
		return 1
	} else {
		return test(num - 1) + test(num -2)
	}
}

算法複雜度

• 遞歸是最容易想到和實現的方式；但是遞歸的時間複雜度是隨着n以指數方式遞增的。
• 使用循環來實現
• 更簡單的是從下往上進行計算

function test($num)
{
	if($num == 1 ){
        return  1;
	}
	if($num == 2 ){
        return  1;
	}
    $one = 1;
    $two = 0;
    $res = 0;
    for($i = 2; $i<=$num; $i++){
            $res = $one + $two;
            $two = $one;
            $one = $res;
    }
    return $res;
}