斐波那契数列应用

什么是斐波那契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和

台阶问题

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

兔子问题

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

算法实现

function Fibonacci($num){
      if($num == 1){
            return  1;
    } else if ($num ==  2) {
            return  1;
    } else {
            return Fibonacci($num-1) + Fibonacci($num - 2);
    }
}

package main

import (
	"fmt"
)

func main(){
	fmt.Println(test(8))
}

func test(num int) int {
	if(num == 1){
		return 1
	} else if (num == 2) {
		return 1
	} else {
		return test(num - 1) + test(num -2)
	}
}

算法复杂度

• 递归是最容易想到和实现的方式；但是递归的时间复杂度是随着n以指数方式递增的。
• 使用循环来实现
• 更简单的是从下往上进行计算

function test($num)
{
	if($num == 1 ){
        return  1;
	}
	if($num == 2 ){
        return  1;
	}
    $one = 1;
    $two = 0;
    $res = 0;
    for($i = 2; $i<=$num; $i++){
            $res = $one + $two;
            $two = $one;
            $one = $res;
    }
    return $res;
}