高精度運算(加法，減法，乘法)

寫在最前面：

最近在洛谷上寫題的時候，看到一個算1000！的題目，但是C語言和C++算到13的階乘，就存放不下了，所以就根據答案，寫了一個算大數階乘的程序，與此同時，受到啓發，就又寫了寫大數的加法減法和乘法，對於除法，我現在唯一想到的辦法是進行多次減法，所以等以後有了好的想法再補上！

什麼是高精度？

對於C /C++，它們的數據類型有限，int最大爲2^31 -1, 大約二十億，long long最多是2^63-1,十進制也就二十位左右。
但是，如果一個數超過了20位，甚至一百位，兩百位，那麼這些基本的數據類型就不足以進行計算了。因此，我們就需要用到高精度的運算，說白了就是用數組來存放大數，然後模擬列豎式的過程就行。接下來依次說明

基本原則

1.按正常字符串的方式讀入數字，讀入之後都減去’0’變成數字
2.運算和進位分開做，先按位進行運算，之後統一處理進位，這樣不會搞混
3.運算的時候從最後一位開始，把結果寫進另一個數組裏，這裏指的是正序寫入另一個數組，這就需要在輸出結果時逆序輸出了
No Picture You Say a …

1.加法

加法比較容易，直接按位相加就行。加法函數裏，爲了避免分類討論兩個加數位數的問題，所以把兩個加數都加到了同一個數組裏。這是最重要的部分
這裏主要是來寫一下整體的代碼，後面乘法和減法裏相似的部分就不再說明了

#include <stdio.h>
#include <string.h>

void toNum(char s[]);//轉換位數字
int add(char a[], int len1, char b[], int len2, int result[]);//按位相加
int carry(int result[], int len);//進位

int main()
{
	char a[400];
	char b[400];
	int result[410]={0};
	
	//buffer
	
	scanf("%s", a);
	scanf("%s", b);
	int len1 = strlen(a);
	int len2 = strlen(b);
	
	toNum(a);
	toNum(b);
	
	int len3 = add(a,len1, b, len2, result);
	int len4 = carry(result, len3);
	
	int i=0;
	
	for (i=len4-1; i>=0; i--)
	{
		printf("%d", result[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

void toNum(char s[])
{
	int i;
	int len = strlen(s);
	
	
	for (i=0; i<len; i++)
	{
		s[i] -= '0';
	}
}

int add(char a[], int len1, char b[], int len2, int result[])
{
	int i=len1-1, j=len2-1, k1=0, k2=0;
	while (i>=0)
	{
		result[k1] += a[i];
		i--;
		k1 ++;
	}
	//先把第一個數加到result數組裏
	while (j>=0)
	{
		result[k2] += b[j];
		j--;
		k2 ++;
	}
	//再把第二個數也加到result數組裏
	return (k1>k2?k1:k2);//返回大的位數，實際操作了多少位
}
int carry(int result[], int len)
{
	int i=0;
	
	for (i=0; i<len; i++)
	{
		result[i+1] += result[i]/10;//一定要先進位再取餘
		result[i] %= 10;
	}
	
	if (result[len]==0)//如果最高位是0，就說明沒進位
		return len;
	else
		return len+1;
}

接下來的代碼都是由三個部分構成，轉換爲數字(toNum)，運算(add,sub,multi)
，進位(carry)等，主要說明的是運算函數

2.減法

減法和加法大同小異，首先是按位相減，然後是進位變成了借位，借位就是如果這一位小於0，就讓前一位-1，這一位加10
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大致思路就是這樣，下面是代碼

int sub(char a[], int len1, char b[], int len2, int result[])
{
	int i=len1-1, j=len2-1, k1=0, k2=0;
	while (i>=0)
	{
		result[k1] += a[i];//也不是非得用+=，直接賦值就行
		i--;
		k1 ++;
	}
	//把第一個數賦值給result，這樣才能減
	while (j>=0)
	{
		result[k2] -= b[j];
		j--;
		k2 ++;
	}
	return k1;
}

int carry(int result[], int len)//這是借位的處理
{
	int i=0;

	for (i=0; i<len; i++)
	{
		if (result[i]<0)//小於0時才能說明借位了
		{				//然後加10減1就行
			result[i] += 10; 
			result[i+1]--;
		}
	}

	while(result[len-1]==0&&len>1)//把前導0都去了，才能得到位數
	{
		len--;
	}
	return len;
}

這裏需要說明的就是：減法函數裏默認了第一個數是大於第二個數的，這樣也就更簡單了，實際上，爲了達到這個效果，前面可以再加一個緩衝區，專門用來調換順序，控制正負號。減法就說到這裏

3.乘法

乘法最重要的是乘法函數的設計，與加減法不同，乘法需要一個數每位都與另一個數相乘再相加，加的時候要對齊，比如第二位進行相乘，就從第二位開始往後加。其實，這樣也還沒解釋清楚，先從低精度乘高精度說吧
低精度就是說int能表示的數，比如9，100這些，相乘的時候讓這些數和高精度的每一位都相乘，按位記錄下來，乘完之後再考慮進位，
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這和實際的程序還是有點出入的，主要是順序不一樣，這個圖爲了說明實際的原理也就沒考慮那麼多的細節了，應該很清楚了吧
接下來解釋高精度乘以高精度
這是對前面的一個擴展，需要把每一位都當作低精度來和另一個數相乘，然後再把每一位的積相加，這裏關鍵在於相加時候的對齊問題，考慮到每次前進一位就相當於乘以了10，所以在相加的時候也要先乘10，反映到數組裏就是往前走一位對齊。也就是說，這是第幾位，就要把積從第幾位開始對齊相加
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後面就是求和，化的圖比較醜，就不再畫了(逃)

終於到了代碼時間，上代碼

int multi(char a[], int len1, char b[], int len2, int result[])
{
	if (a[0]==0||b[0]==0)
	{
		return 1;
	}//如果輸入兩個0的話，就不需要乘了
	
	int i, j, k=0;
	
	for (i=len1-1; i>=0; i--)
	{
		k = len1-1-i;//這是負責對齊的
		for (j=len2-1; j>=0; j--)
		{
			result[k] += a[i]*b[j];
			k++;
		}
	}
	
	return k;
}

int carry(int num[], int len)
{
	int i;

	for (i=0; i<len; i++)
	{
		num[i+1] += num[i]/10;
		num[i] %= 10;
	}
	
	while (num[i])
	{
		num[i+1] += num[i]/10;
		num[i] %= 10;
		i++;
	}//這是爲了把每個單元都變成只有一個數字，方便後續使用
	
	return i;
}

至於除法，還沒有想到高級的模擬方法，等以後想到了再補充上。

最後，這些其實都不算完美，比如沒有對正負號進行判斷，只是用於整數等，這些不足都還有待改進，總之，不斷地學習新知識，不斷總結積累，纔能有更完善的思路，更優質的解題過程。這次的總結，就先到這裏吧！