衍生品定價之二：期權定價

期權定價原理

買賣權平價關係

買賣權平價關係，即Put-Call Parity，是指具有相同的行使價與到期日的金融工具，其賣權與買權價格間所必然存在的基本關係。如果兩者不相同，則存在套利的空間。
買賣權平價關係可以描述爲：在忽略市場交易成本的情況下，相同標的資產且執行價格也相同的看漲期權、看跌期權與標的資產價格之間滿足如下公式關係：
C + Ke^-rT = P + S
這個公式可以這麼理解：
等式的左邊是資產組合1，1份歐式看漲期權C和數額爲Ke^-rT的無風險資產；
等式的左邊是資產組合2，1份條件相同的看跌期權P加上標的股票S；
其中T爲到期日、r爲同期限無風險收益率、K爲執行價格、並假設標的資產S不進行分紅。
在T時刻，資產組合1和資產組合2的價值是相同的，根據無套利定價原理，在起始時刻兩個資產組合的價值也應該相同。

買賣權平價關係是期權市場最爲經典且易於理解的著名等式關係。其不受制於任何期權定價模型，如BS模型，二叉樹模型的影響，始終保持成立。投資者無需考慮波動率因素即可根據其來判斷期權價格是否偏離合理價格，從而發現套利機會。

期權定價模型

期權定價之二叉樹模型

假設股票當前時刻價格爲S₀，考慮以此股票爲標的資產、到期日爲T、執行價格爲K的看漲期權的當前價格。
在到期日T時，股票的價格有兩種可能：
case1：股票價格上漲到uS₀（u>1）， 此時期權的價值 C_u = max(0, uS₀ - K) ；
case2：股票價格下跌到dS₀（d<1），此時期權的價值C_d = max(0, dS₀ - K) ；
結合兩個case發生的概率，則該看漲期權的定價公式爲：
C = e^-rT * [pC_u + (1-p)C_d ]
這裏的概率p爲“風險中性概率”，是有公式可以計算的：p = (e^rT - d)/(u - d)
其中$u=e^{\sigma\sqrt{T}}$, d=1/u。$\sigma$(sigma)爲歷史波動率（年）。

例子：標的資產爲不支付紅利的股票，當前價格爲每股20美元，一年後的價格或者爲25美元，或者爲15美元。計算對應的1年期、執行價格爲18美元的歐式看漲期權的價格。設無風險年利率爲8%，考慮連續複利。
解析：根據題目S₀=20，uS₀ = 25, dS₀ = 15, 得出u=1.25, d=0.75； （這裏u和d不是倒數關係了？）
C_u = max(0, 25 - 18) = 7
C_d = max(0, 15 -18) = 0
p = (e^rT - 0.75)/(1.25 - 0.75) = 0.66658
C = e^-rT * [pC_u + (1-p)C_d] = 0.92312 * 0.66658 * 7 = 4.3073

期權定價之B-S-M模型

基礎B-S-M模型

B-S-M模型的思路是：在無套利機會的條件下，構造一個有股票和期權組成的無風險資產組合，這一組合的收益率必定爲無風險利率r，由此得出期權價格滿足的隨機微分方程，進而求出期權價格。也有論文已經證明了，在極限條件下，多期的二叉樹期權定價模型收斂爲B-S-M模型。
B-S-M模型的六個基本假設：

1. 標的資產價格服從幾何布朗運動；
2. 標的資產可以被自由買賣，無交易成本，允許賣空；
3. 期權有效期內，無風險利率r和=預期收益率$\mu$是常數，投資者可以以無風險利率無限借入或貸出資金；
4. 標的資產價格是連續變動的，即不存在價格的跳躍；
5. 標的資產的價格波動率$\sigma$爲常數；
6. 市場爲無套利市場；

B-S-M模型無紅利資產歐式期權的價格公式爲：
C = S * N(d₁) - K * e^-rT * N(d₂)
P = K * e^-rT * N(-d₂) - S * N(-d₁)

其實有了C的公式，根據買賣權平價關係公式 C + K * e^-rT = P + S可以推導出P的公式的。

其中，S爲標的資產當前價格，T爲期權到期時間，K爲期權執行價格；
N(d)爲標準正態分佈小於d的概率，N(-d) = 1 - N(d)；

$d_1 =\frac{ln(S/K) + [r+(\sigma^2/2)]T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2 = d1 - \sigma\sqrt{T}$

$\sigma$(sigma)爲無收益標的資產的價格波動率，也即股票年收益率的標準差，用於度量資產所提供收益的不確定性。通常使用歷史數據和隱含波動率來估計。
事實上，市場參與者往往從不同的角度來看期權定價問題。一般不是用所給的股票標準差按布萊克-斯科爾斯公式計算期權價格，而是將市場上的期權或權證交易價格代入權證理論價格模型，反推出來波動率的值，稱之爲隱含波動率。投資者可以判斷實際的股票標準差是否超過了隱含波動率。如果超過了，則購買期權是一個好的選擇，因爲如果實際波動率高於隱含波動率，期權的公允價格就要高於觀察到的價格。
另一個角度是比較到期日相同、執行價格不同的同一股票的期權。具有較高隱含波動率的期權相對貴一些，因爲需要較高的標準差來調節價格。
期權價格與標的資產的價格波動率正相關。對於看漲期權來說，股價上升可以獲利，股價下降時最大損失以期權費爲限，兩者不會抵消。因此，標的資產價格的波動率增加會使看漲期權價值增加；對於看跌期權來說，股價下降可以獲利，股價上升時放棄執行，最大損失以期權費危險，兩者不會抵消。因此，標的資產價格的波動率增加會使看跌期權的價值增加。
同時，期權價格與無風險收益率、期權期限也是正相關的。

例子：假設某隻股票的市場價格爲50，無風險利率爲12%，股票的年波動率爲10%，求執行價格爲50、期限爲1年的歐式看漲期權和看跌期權的價格。
解析：$d_1 =\frac{ln(50/50) + [12\%+(10\%^2/2)]*1}{10\%\sqrt{1}}$ = 1.25
$d_2 = d1 - 10\%\sqrt{1}$ = 1.15
查累計正態分佈表可得N(d₁) = 0.8944, N(d₂) = 0.8749
C = 50 * 0.8944 - 50 * e^-12%*1 * 0.8749 = 5.92
P = C + K * e^-rT - S = 5.92 + 50 * e^-12%*1 - 50 = 0.27

存續期內支付紅利的B-S-M模型

若存續期內，標的的資產支付紅利已知，紅利支付會導致資產價格下跌，看漲期權的價值也會隨之下降。假設存續期內t時刻支付紅利$\Iota$，B-S-M模型帶紅利資產歐式期權的價格公式爲：
C = (S - $\Iota$*e^-rt) * N(d₁^*) - K * e^-rT * N(d₂^*)
P = K * e^-rT * N(-d₂^*) - (S - $\Iota$*e^-rt) * N(-d₁^*)
其實就是把支付的紅利折算爲期初價格，從S中減去。
$d_1 =\frac{ln((S - \Iota*e^{-rt})/K) + [r+(\sigma^2/2)]T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2 = d1 - \sigma\sqrt{T}$

股指期權定價

股指期權是以股票指數爲標的物的期權產品。股票指數成分股分紅的差異性以及該期權產品實行現金交割的特性，B-S-M模型定價進行修正如下：
$C = (S - \sum\limits_{i=1}^Lw_i\Iota_ie^{-rt_i}) * N(d_1^*) - K * e^{-rT} * N(d_2^*)$
$P = K * e^{-rT} * N(-d_2^*) - (S - \sum\limits_{i=1}^Lw_i\Iota_ie^{-rt_i}) * N(-d_1^*)$
其實也就是把所有成分股的紅利加起來折算爲期初價格，從S中減去。
$d_1 =\frac{ln((S - \sum\limits_{i=1}^Lw_i\Iota_ie^{-rt_i})/K) + [r+(\sigma^2/2)]T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2 = d1 - \sigma\sqrt{T}$
其中，w_i表示成分股i佔股指的比重，$\Iota$_i和t_i分別表示成分股i的分紅和分紅時間。

希臘字母

影響期權價格的主要因素有：標的資產的價格、標的資產的波動率、市場利率、期權到期時間等。我們常用Delta（$\Delta$）、Gamma（$\Gamma$）、Vega（$\nu$）、Theta（$\Theta$）、Rho（$\rho$）這五個希臘字母來描述這些因子對期權價格的影響。

名字	符號	風險因素	量化公式
Delta	$\Delta$	標的價格變化	權利金變動值/標的價格變動值
Gamma	$\Gamma$	標的價格變化	Delta變動值/標的價格變動值
Vega	$\nu$	波動率變化	權利金變動值/波動率變動值
Theta	$\Theta$	到期時間變化	權利金變動值/到期時間變動值
Rho	$\rho$	利率變化	權利金變動值/利率變動值

Delta ($\Delta$)

·Delta用來衡量標的資產價格變動對期權理論價格的影響程度，可以理解爲期權價格對標的資產價格變動的敏感性。
看漲期權的Delta計算： $\Delta_C = \frac{\partial{C}}{\partial{S}} = N(d_1)$     ($\partial$是偏微分,這裏就是B-S-M期權價格公式對資產價格求偏微分)
看跌期權的Delta計算： $\Delta_P = \frac{\partial{P}}{\partial{S}} = N(d_1)-1$
其中$d_1 =\frac{ln(S/K) + [r+(\sigma^2/2)]T}{\sigma\sqrt{T}}$
回顧前面學習的B-S-M公式，其實Delta就是公式裏面的S的係數。
Delta的特性如下：
特性1【取值範圍】 看漲期權的Delta取值範圍爲0~1， 看跌期權的取值範圍爲-1~0。可以理解爲，若資產價格上漲一個單位，則看漲期權的價格就會上漲一些，而看跌期權的價格就會下降一些。
特性2【隨標的資產價格變動情況】 當標的價格大於行權價時，隨着資產價格的上升，看漲期權的Delta值逐漸變大（趨於1），看跌期權的Delta值也逐漸變大（趨於0） ；
      當標的價格小於行權價時，隨着資產價格的下降，看漲期權的Delta值逐漸變小（趨於零），看跌期權的Delta值逐漸變小（趨於-1）；
特性3【臨近到期日時變動情況】 隨着到期日的臨近，Delta的變化：
看漲期權：
實值期權（標的價格>行權價）：Delta收斂於1；
平值期權（標的價格=行權價）：Delta收斂於0.5；
虛值期權（標的價格<行權價）：Delta收斂於0；
看跌期權：
實值期權（標的價格<行權價）：Delta收斂於-1；
平值期權（標的價格=行權價）：Delta收斂於-0.5；
虛值期權（標的價格>行權價）：Delta收斂於0；
特性4 投資者可以按照1單位資產和Delta單位期權做反向頭寸來規避資產組合的價格波動風險。如果策略能完全規避組合的價格波動，則稱爲Delta中性策略。靜態的Delta對沖不能完全規避風險，投資者需要不斷依據市場變化調整對沖頭寸。

例子：一個投資者持有5單位Delta=0.8的看漲期權和4單位Delta=-0.5的看跌期權，期權的標的相同。若逾期標的資產價格下跌，該投資者的組合是否面臨價格波動風險？該如何對沖此類風險？
解析：該資產組合的Delta=5 * 0.8+4 *（-0.5） = 2，因此資產價格下跌將導致組合價值下跌，解決方案有：1.再購入4單位Delta=-0.5的看跌期權；或者2.賣空2單位的標的資產。兩個方案都能實現Delta中性。

Gamma ($\Gamma$)

Gamma是衡量Delta值對標的資產價格的敏感度，其數學表達式爲：
看漲期權：$\Gamma_C = \frac{\partial{\Delta}}{\partial{S}} = \frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}$
                      $= \frac{N'{(d_1)}}{S\sigma\sqrt{T}}$ (這一步沒看懂，這個結果怎麼算出來的？) （N’(d₁)是指標準正態分佈累積函數的導數，也即其密度函數)

看跌期權：$\Gamma_P = \frac{\partial{\Delta}}{\partial{S}} = \frac{\partial^2{P}}{\partial{S^2}}$
                      $= \frac{N'{(d_1)}}{S\sigma\sqrt{T}}$ (所以看跌期權的公式和看漲期權是一毛一樣的)
Gamma的特性如下：
特性1【取值範圍】 Gamma值均爲正值；
特性2【隨標的資產價格變動情況】 深度實值和深度虛值的Gamma較小， 只有當標的資產價格和執行價相近時Gamma較大，也就是說平值期權的Gamma最大。
特性3【臨近到期日時變動情況】 臨近到期日時，平價期權的Gamma值趨近於無窮大。實值和虛值期權的Gamma值先變大後變小，隨着接近到期日收斂於0 。
特性4 波動率和Gamma的最大值成反比。想一下Gamma曲線，中間高，兩頭低。波動率越小，Gamma曲線中間部位凸出越高；波動率越大，Gamma曲線中間部位凸出越低。

Vega (v)

Vega用來度量期權價格對波動率的敏感性，該值越大，說明期權價格對波動率越敏感。
看漲期權：$\nu_c = \frac{\partial{C}}{\partial{\sigma}} = S\sqrt{T}N'(d_1)$ （這裏也即是B-S-M期權價格公式對波動率求偏微分）
看漲期權：$\nu_c = \frac{\partial{P}}{\partial{\sigma}} = S\sqrt{T}N'(d_1)$ （所以看跌期權的公式和看漲期權是一毛一樣的）
Vega的特性如下：
特性1【取值範圍】 Vega值總爲正值，也即是說期權價格與波動率成正比；
特性2【隨標的資產價格變動情況】 深度實值和深度虛值的Vega較小， 只有當標的資產價格和執行價相近時Vegga較大，也就是說平值期權的Vegga最大。
特性3【臨近到期日時變動情況】 越臨近到期日，Vega越小 ，也即標的資產波動率對期權價格影響變小。

Theta ($\Theta$)

Theta用來衡量期權價格對到期日的敏感度。
看漲期權：$\nu_c = \frac{\partial{C}}{\partial{t}} = \frac{S\sigma}{2\sqrt{T}}N'(d_1) - Ke^{-rT}rN(d_2)$ （這裏也即是B-S-M期權價格公式對距離到期日的時間t求偏微分）
看漲期權：$\nu_c = \frac{\partial{P}}{\partial{t}} = \frac{S\sigma}{2\sqrt{T}}N'(d_1) - Ke^{-rT}r(N(d_2)- 1)$
Theta的特性如下：
特性1【取值範圍】 Theta值總爲負值，也即是說期權價格隨着到期日的臨近而降低；
特性2【隨標的資產價格變動情況】 深度實值和深度虛值的Theta絕對值較小， 只有當標的資產價格和執行價相近時Theta絕對值較大，也就是說平值期權的Theta絕對值最大。

Rho ($\rho$)

Rho用來度量期權價格對利率變動的敏感程度。
看漲期權：$\rho_c = \frac{\partial{C}}{\partial{r}} = Ke^{-rT}N(d_2)$
看跌期權：$\rho_p = \frac{\partial{P}}{\partial{r}} = Ke^{-rT}(N(d_2)-1)$
Rho的特性如下：
特性1【取值範圍】 看漲期權Rho是正值，看跌期權Rho是負值；
特性2【隨標的資產價格變動情況】 Rho隨標的資產價格單調遞增。對於看漲期權，Rho是正值，單調遞增就意味着標的資產價格越高，Rho值越大，也即利率對期權價格影響越大； 對於看跌期權，Rho是負值，單調遞增意味着標的資產價格越低，Rho的絕對值越大，也即利率對期權價格影響越大。
特性3【臨近到期日時變動情況】 隨着期權到期，Rho值單調收斂至0。

波動率

期權交易的核心是關注波動率的波動，期權交易也被稱爲波動率交易。標準資產波動率與期權價格正相關。
歷史波動率$\sigma_H$：使用持有期權之前的標的價格數據計算出來的，是過去真實存在的波動率。歷史波動率是當前期權定價的重要參考。
實現波動率$\sigma_R$：使用持有期權期間的標的價格數據計算出來的，是持有期間真實存在的波動率。實現波動率是計算持有期權期間損益的主要指標。
隱含波動率$\sigma_I$:是通過已知的期權價格倒推出來的波動率，是隱含在期權價格裏面的。隱含波動率是觀察市場情緒的重要因素。如果計算出的隱含波動率上升，則意味着市場大多數參與者認爲市場會出現大的波動。絕大多數情況下，下跌的速度是快於上漲的速度的，因此隱含波動率就成爲預測市場下跌的恐慌性指標。VIX指數就是根據這一原理設計出來的。VIX（Volatility Index）也即波動率指數，是芝加哥期權交易所上市的品種。