衍生品定價一：遠期與期貨定價

定價理論

連續複利計算公式

在講述無套利定價理論之前，先講一下複利和連續複利。
複利（Compound interest）是指每年的收益還可以產生收益，具體是將整個借貸期限分割爲若干段，前一段按本金計算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作爲下一段計算利息的本金基數。
複利計算公式：F = P*(1+r)^T
其中:
  F表示Future Value，叫終值或未來值，
  P表示Present Value，叫現值或期初金額，
  r爲每期利率，T爲期數。
連續複利（Continuous compounding）則是指在期數趨於無限大的極限情況下得到的利率，此時不同期之間的間隔很短，可以看作是無窮小量。
連續複利的公式：
$F= P * \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+r/n)^{n*T}$
根據高數知識中兩個重要極限公式之一的如下公式：
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e$
我們可以推導出連續複利公式：
$F = P * \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+r/n)^{n*T} = P* \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n/r})^{(n/r)*r*T}$
$= P*e^{rT}$

無套利定價理論

該理論認爲，如果兩種金融資產未來某一個時點的現金流完全相同，則當前的價格必相同。如果兩項資產的價格存在差異，投資者可以通過買低賣高獲取無風險收益，即存在套利機會。如果市場是有效的話，市場價格必然由於套利機會做出相應的調整，重新回到均衡的價格狀態，套利機會隨之消失。
舉個例子就是，假如投資者希望在T時獲得1單位資產，一種方式是直接購買1單位資產價格爲S₀，持有至時間T；另一種方式是持有價格爲F₀的以1單位資產爲標的的期貨合約多頭，同時將F₀*e^-rT資金按照無風險利率r貸出，等到時間T，貸出的資金收回F₀*e^-rT*e^rT=F₀，用該資金交割獲得1單位資產。
按照無套利定價理論，F₀ * e^-rT= S₀。

持有成本理論

該理論認爲，現貨價格和期貨價格的差由三部分組成：融資利息、倉儲費用、持有收益。
F = S + W - R
其中:
  F表示期貨價格，
  S表示現貨價格，
  W表示持有成本，包括購買現貨佔用的資金的利息成本、倉儲費用、保險費用，
  R表示持有收益，如股票紅利、實物商品的便利收益等。便利收益是指當現貨對期貨產生風險溢價時,投資者持有現貨的可能收益。在期貨合約有效期間,商品短缺的可能性越大,則便利收益就越高。若商品使用者擁有大量的庫存,則在不久將來出現商品短缺的可能性很小,從而便利收益率會比較低。

定價分析

完全市場假設下的定價

權益資產的遠期價格

1. 不支持紅利的標的
   這是最簡單的情形，沒有持有收益，持有成本只有購買標的資產所需自己的利息成本。
   此時遠期價格公式爲：F = S * e^rT （即：按照複利計算持有成本，到期即爲期貨價格）
   其中：F爲遠期價格（期貨價格），
      S爲現貨價格，
      T爲期貨合約到期日，
      r爲無風險連續利率。
2. 支付現金紅利的標的
   這種情形下，持有期間所獲取的現金紅利就是持有收益。將持有現貨期間所獲取的現金紅利在初始時點的折現值記爲D，則：
   此時遠期價格公式爲：F = (S - D) * e^rT
3. 支付連續紅利率的標的
   假設標的資產獲取的連續紅利利率爲q，持有期間所獲取的紅利爲e^qT,
   此時遠期價格公式爲 F = S * e^(r-q)T

例子：某投資者簽訂了一份期限爲9個月的滬深300指數遠期合約，該合約簽訂時滬深300指數爲3000點，年股息連續收益率爲3%，無風險連續利率爲6%，則該遠期合約的理論點位爲多少？
解析：F = S * e^(r-q)T = 3000 * e^(6%-3%)*9/12 = 3068.3 （點）

國債期貨的價格

設債券利息在起始時刻的折現值爲D，F = (S - D) * e^rT
對於短期國債期貨，標的資產通常是零息債券，沒有持有收益；
對於中長期國債期貨，其標的資產通常是附息票的名義債券，是有持有收益的；

例子：某國債券期合約270天后到期，其標的債券爲中期國債，當前淨報價爲98.36元，息票率爲6%，每半年付息一次。上次付息時間爲60天前，下次付息爲122天以後，再下次付息爲305天以後。無風險連續利率爲8%，則該國債遠期的利率價格爲多少？
解析：
首先弄懂什麼是淨報價。國債淨價交易是一種在現券買賣時,以不含有應計利息的價格報價併成交的交易方式。也就是說,將國債成交價格與國債的應計利息分解,讓交易價格隨行就市,而應計利息則根據票面利率按天計算,從而使國債的持有人享有持有期間應得的利息收入。在淨價交易條件下,由於國債交易價格不含有應計利息,其價格形成及變動能夠更加準確地體現國債的內在價值,供求關係及市場利率的變動趨勢。

國債的價格公式爲：國債的全價=淨價+當期利息
本例中，息票率6%，每半年付息一次，則半年的利率是3%， 本次的付息週期是60+122天，已經過了60天，那麼應記利息是 100 * (60/(60+122)*3%) = 0.99元, 其中100是國債的票面金額，應計利息是按照票面金額和票面利息來算的。

所以當前國債現貨價格 S = 98.36 + 0.99 = 99.35 （元）

合約期內標的債券獲取的利息在起始時刻的折現值計算公式爲：D = L * e^-rt, 其中L爲所獲利息，r爲無風險利率，t爲獲取利息的時刻與起始時刻的時間差。
本例中，D = (100 * 3%) * e^-8%*122/365 = 2.92 （元）

所以， F = (S - D) * e^rT = (99.35 - 2.92) * e^8%*270/365 = 102.31 （元）

商品期貨的價格

商品往往存在存儲成本和便利收益，設存儲成本率爲u，便利收益率爲z，u和z都按連續複利算，則商品期貨的定價公式爲：
F = S * e^(r+u-z)*T

例子：假設某螺紋鋼期貨還有90天到期，目前螺紋鋼現貨價格爲每噸2200元，無風險連續利率爲8%，儲存成本爲2%，便利收益率爲3%，則該螺紋鋼期貨的理論價格是多少？
解析：F = S * e^(r+u-z)*T = 2200 * e^{(8%+2%-3%)*90/365} = 2441.78 （元/噸）
當然，如果螺紋鋼到期的90天按照月來算的話， 是12個月中的3個月， 所以90/365 也可以寫成 3/12,
2200 * e^{(8%+2%-3%)*3/12} = 2442.4 （元/噸）

外匯期貨的價格

外匯的持有收益率就是該外匯發行國的無風險利率，記爲r_F，本國無風險利率記爲r_D，則遠期匯率F和即期匯率S的關係爲：
$F = S * e^{(r_D-r_F)*T}$

例子：假設美元兌英鎊的外匯期貨合約距到期日還有6個月，當前美元兌英鎊即期匯率爲1.5USD/GBP，而美元和英國的無風險利率分別是3%和5%，則該外匯期貨合約的理論價格（遠期匯率）是多少？
F = 1.5 * e^(3%-5%)*6/12 = 1.485 (USD/GBP)

不完全市場假設下的定價

在現實中，完全市場的一些假設無法得到滿足，持有成本模型將會從定價公式變爲定價區間，下面以不支付紅利的權益類資產的期貨定價爲例進行說明。

存在交易成本

假定每筆交易的費率爲Y，那麼期貨的定價區間爲[S*(1-Y)e^rT, S(1+Y)*e^rT]， 這個區間稱爲無套利區間。當期貨價格高於區間上限時，可以買入現貨同時賣出期貨進行套利；當期貨價格低於區間時，可以買入期貨同時賣出現貨進行套利。

借貸利率的不同

設借款利率爲r_b, 貸款利率爲r_l，對於非銀機構的一般投資者來說，期貨的價格區間爲：
$[S*(1-Y)*e^{r_{l}T}, S*(1+Y)*e^{r_{b}T}]$
當現貨資產存在賣空限制時，設賣空現貨需要的保證金是賣空量的一個固定比例K，那麼期貨的價格區間爲$[(1-K)*S*(1-Y)*e^{r_{l}T}, S*(1+Y)*e^{r_{b}T}]$

例子：假設黃金現貨價格爲500美元，借款利率爲8%，貸款利率爲6%，交易費率爲5%，賣空黃金的保證金12%。求1年後交割的黃金期貨的價格區間。
解析：價格區間上限爲 500 * (1+5%) * e^0.08 = 568.7 (美元)
價格區間下限爲 (1-12%) * 500 * (1-5%) * e^0.06 = 443.8 (美元)
所以價格區間爲[443.8, 568.7]