前言：
博主是一名大一編程小白，因爲馬上要參加藍橋杯，所以最近一直在學習動態規劃，接下來我將分享我遇到的經典例題和我能力所及的最清晰的代碼，並且會逐漸豐富文章內容，分享思路，希望和大家共同進步！
因爲內容較多，建議收藏慢慢研究。
學習筆記：
動態規劃題目特點
1.計數
—有多少種方式走到右下角
—有多少種方法選出k個數使得和爲sum
2.求最大最小值
—從左上角走到右下角路徑的最大數字和
—最長上升子序列長度
3.求存在性
—取石子游戲，先手是否必勝
—能不能選出k個數使得和爲sum
動態規劃組成部分一：確定狀態
最後一步（最優策略的最後一步）
化成子問題
動態規劃組成部分二：轉移方程
動態規劃組成部分三：初始條件和邊界情況
用轉移方程算不出來，需要手工定義
動態規劃組成部分四：計算順序
利用之前的計算結果
一維從小到大（大部分）
二維從上到下，從左到右（大部分）常見動態規劃類型
座標型動態規劃
序列型動態規劃
劃分型動態規劃
區間型動態規劃
揹包型動態規劃
最長序列型動態規劃
博弈型動態規劃
綜合性動態規劃
例一 Unique Paths
題目描述：
給定m行n列的網格，有一個機器人從左上角(0,0)出發，每一步可以向下或者向右走一步，問有多少種不同的方式走到右下角？
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void dp(int m,int n)
{
int f[m][n];
memset(f,0,sizeof(f));
int i,j;
f[0][0]=1;
for(j=0;j<n;j++)
f[0][j]=1;
for(i=0;i<m;i++)
f[i][0]=1;
for(i=1;i<m;i++)
{
for(j=1;j<n;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
}
}
printf("%d\n",f[m-1][n-1]);
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d%d",&m,&n);
dp(m,n);
return 0;
}
運行結果：
例二 激光樣式
題目描述：
x星球的盛大節日爲增加氣氛，用30臺激光器一字排開，向太空中打出光柱。
安裝調試的時候才發現，不知什麼原因，相鄰的兩臺激光器不能同時打開！
國王很想知道，在目前這種bug存在的情況下，一共能打出多少種激光效果？
顯然，如果只有3臺機器，一共可以成5種樣式，即：
全都關上（sorry, 此時無聲勝有聲，這也算一種）
開一臺，共3種
開兩臺，只1種
30臺就不好算了，國王只好請你幫忙了。
要求提交一個整數，表示30臺激光器能形成的樣式種數。
注意，只提交一個整數，不要填寫任何多餘的內容。
網上摘抄代碼如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */
using namespace std;
bool get(int x){
if(x&(x<<1))return false;
else return true;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
int ans=0;
for(int i=0;i<1<<30;i++){
if(get(i)){
ans++;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
網上摘抄代碼運行結果：
我的思路：
我的代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int arr[31];
int i;
arr[1]=2;
arr[2]=3;
for(i=3;i<=30;i++)
arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
printf("%d\n",arr[30]);
}
我的代碼運行結果：
疑問：
我直接找到了轉移方程和出口，此代碼非常簡單，有點小學生找規律的味道，不知道如果在藍橋杯這樣寫對不對。請大佬指正，感謝！
例三 Unique Paths II
題目描述：
給定m行n列的網格，有一個機器人從左上角(0,0)出發，每一次可以向下或者向右走一步，網格中有些地方有障礙，機器人不能通過障礙。問：有多少種不同的方式走到右下角？
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&m,&n); //輸入行列數m,n
int f[m][n],dp[m][n];
int i,j,k;
for(i=0;i<m;i++) //輸入m*n網格，1爲有障礙，0爲無障礙
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&f[i][j]);
}
}
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if(f[i][j]==1)
dp[i][j]=0;
else
{
if(i==0&&j==0)
dp[i][j]=1;
else
{
dp[i][j]=0;
if(i-1>=0)
dp[i][j]+=dp[i-1][j];
if(j-1>=0)
dp[i][j]+=dp[i][j-1];
}
}
}
}
printf("%d\n",dp[m-1][n-1]);
return 0;
}
運行結果：
疑惑：
好像運行時間有點長？？？
例四 Jump Game
題目描述：
有n塊石頭分別在x軸的0，1，2，…，n-1位置上。一隻青蛙在石頭0，想跳到石頭n-1上。如果一隻青蛙在第i塊石頭上，它最多可以向右跳ai。問，青蛙能否跳到n-1？
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int i,j,n;
scanf("%d",&n); //輸入石頭的數量
int a[n],f[n];
for(i=0;i<n;i++) //依次輸入在第i塊石頭上，最多可以向右跳的距離
scanf("%d",&a[i]);
f[0]=1;
for(j=1;j<n;j++)
{
f[j]=0;
for(i=0;i<j;i++)
{
if(f[i]==1&&i+a[i]>=j)
{
f[j]=1;
break;
}
}
}
if(f[n-1]==1)
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
}
運行結果：
例五 Paint House
題目描述：
有一排N棟房子，每棟房子要漆成3種顏色中的一種：紅、藍、綠。任何兩棟相鄰的房子不能漆成同樣的顏色第i棟房子染成紅色、藍色、綠色的花費分別是cost[i][0]、cost[i][2]、cost[i][2]。問：最少花多少錢漆這個房子？
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int MIN(int m,int n,int t)
{
if(m>n)
m=n;
return m>t?t:m;
}
int main()
{
int N,i,j;
scanf("%d",&N); //輸入房子數量
int cost[N][3],f[N+1][3]; //i表示前i棟 i表示前i棟 i表示前i棟 i表示前i棟
for(i=0;i<N;i++) //分別輸入每棟房子染成紅色、藍色、綠色的花費
for(j=0;j<3;j++)
{
scanf("%d",&cost[i][j]);
}
f[0][0]=f[0][1]=f[0][2]=0;
for(i=1;i<=N;i++)
{
f[i][0]=min(f[i-1][1]+cost[i-1][0],f[i-1][2]+cost[i-1][0]);
f[i][1]=min(f[i-1][0]+cost[i-1][1],f[i-1][2]+cost[i-1][1]);
f[i][2]=min(f[i-1][0]+cost[i-1][2],f[i-1][1]+cost[i-1][2]);
}
printf("%d\n",MIN(f[N][0],f[N][1],f[N][2]));
return 0;
}
運行結果：
疑問：
運行速度一如既往得慢，希望大佬提出改進意見，感謝！
例六 Minimum Path Sum
題目描述：
給定m行n列的網格，每個格子(i,j)裏都有一個非負數A[i][j]，求一個從左上角(0,0)到右下角的路徑，每一步只能向下或者向右走一步，使得路徑上的格子裏的數字之和最小，輸出最小數字和。
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int i,j,m,n;
scanf("%d %d",&m,&n);
int A[m][n],f[m][n];
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&A[i][j]);
f[0][0]=A[0][0];
for(i=1;i<m;i++)
f[i][0]=f[i-1][0]+A[i][0];
for(j=1;j<n;j++)
f[0][j]=f[0][j-1]+A[0][j];
for(i=1;i<m;i++)
for(j=1;j<n;j++)
f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1])+A[i][j];
printf("%d\n",f[m-1][n-1]);
return 0;
}
運行結果：
優化代碼：
滾動數組滾動數組滾動數組
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int i,j,m,n;
scanf("%d %d",&m,&n);
int A[m][n],dp[2][n];
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&A[i][j]);
for(i=0;i<m;i++)
{
if(i==0)
{
dp[0][0]=A[0][0];
for(j=1;j<n;j++)
{
dp[0][j]=dp[0][j-1]+A[0][j];
}
}
else
{
if(i%2==1)
{
dp[1][0]=dp[0][0];
for(j=1;j<n;j++)
{
dp[1][j]=min(dp[0][j],dp[1][j-1])+A[i][j];
}
}
else
{
dp[0][0]=dp[1][0];
for(j=1;j<n;j++)
{
dp[0][j]=min(dp[1][j],dp[0][j-1])+A[i][j];
}
}
}
}
if(i%2==1)
{
printf("%d\n",dp[1][n-1]);
}
else
{
printf("%d\n",dp[0][n-1]);
}
return 0;
}
優化代碼運行結果：
例七 數字三角形問題
題目描述：
給定一個由n行數字組成的數字三角形如下圖所示。試設計一個算法，計算出從三角形的頂至底的一條路徑，使該路徑經過的數字總和最大。
對於給定的由n行數字組成的數字三角形，計算從三角形的頂至底的路徑經過的數字和的最大值。
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
int a[n][n];
memset(a,0,sizeof(a));
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
int dp[n][n];
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(j=0;j<n;j++)
dp[n-1][j]=a[n-1][j];
for(i=n-2;i>=0;i--)
{
for(j=0;j<=i;j++)
{
dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];
}
}
printf("%d\n",dp[0][0]);
return 0;
}
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int D[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i,int j)
{
if(maxsum[i][j]!=-1)
return maxsum[i][j];
if(i==n)
maxsum[i][j]=D[i][j];
else
{
int x=MaxSum(i+1,j);
int y=MaxSum(i+1,j+1);
maxsum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
}
return maxsum[i][j];
}
int main()
{
cin>>n;
int i,j;
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=i;++j)
{
cin>>D[i][j];
maxsum[i][j]=-1;
}
cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
return 0;
}
另附遞歸代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int a[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX]; //記錄避免重複運算
int Maxsum(int i,int j)
{
if(maxsum[i][j]!=-1)
return maxsum[i][j];
if(i==n)
maxsum[i][j]=a[i][j];
else
maxsum[i][j]=max(Maxsum(i+1,j),Maxsum(i+1,j+1))+a[i][j];
return maxsum[i][j];
}
int main()
{
int i,j;
scanf("%d",&n); //三角形行數
for(i=1;i<=n;++i) //從第一行開始輸入
for(j=1;j<=i;++j)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
maxsum[i][j]=-1;
}
printf("%d\n",Maxsum(1,1));
return 0;
}
空間優化代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int *maxsum;
int D[MAX][MAX];
int main()
{
cin>>n;
int i,j;
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=i;++j)
cin>>D[i][j];
maxsum=D[n];
for(i=n-1;i>=1;--i)
for(j=1;j<=i;++j)
maxsum[j]=max(maxsum[j],maxsum[j+1])+D[i][j];
cout<<maxsum[1]<<endl;
return 0;
}
運行結果：
例八 K好數
題目描述：
如果一個自然數N的K進製表示中任意的相鄰的兩位都不是相鄰的數字，那麼我們就說這個數是K好數。求L位K進制數中K好數的數目。
例如K = 4，L = 2的時候，所有K好數爲11、13、20、22、30、31、33 共7個。由於這個數目很大，請你輸出它對1000000007取模後的值。
代碼如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define NUM 1000000007;
int main()
{
int K,L;
int i,j,x,count=0;
scanf("%d%d",&K,&L);
int arr[L+1][K];
memset(arr,0,sizeof(arr));
for(i=0;i<K;++i)
arr[1][i]=1;
for(i=2;i<=L;++i)
{
for(j=0;j<K;++j)
{
for(x=0;x<K;++x)
{
if(x!=j-1&&x!=j+1)
{
arr[i][j]+=arr[i-1][x];
arr[i][j]%=NUM;
}
}
}
}
for(i=1;i<K;++i)
{
count+=arr[L][i];
count%=NUM;
}
printf("%d\n",count);
return 0;
}
運行結果：
例九 最長上升子序列
例十 最長公共子序列
題目描述：
給出兩個字符串，求出這樣一個最長的公共子序列的長度：子序列中的每個字符都能在兩個原字符串中找到，而且每個字符的先後順序和原字符串中的先後順序一致。
圖解：
代碼如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
char str1[1000];
char str2[1000];
int maxlength[1000][1000];
int main()
{
cin>>str1>>str2;
int length1=strlen(str1);
int length2=strlen(str2);
int i,j;
//maxlength[i][j]表示str1左邊i個字符形成的子字符串和str2左邊的j個字符形成的子字符串的最長公共子序列的長度
for(i=0;i<=length1;++i)
maxlength[i][0]=0;
for(j=0;j<=length2;++j)
maxlength[0][j]=0;
for(i=1;i<=length1;++i)
{
for(j=1;j<=length2;++j)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
maxlength[i][j]=maxlength[i-1][j-1]+1;
else
maxlength[i][j]=max(maxlength[i-1][j],maxlength[i][j-1]);
}
}
cout<<maxlength[length1][length2]<<endl;
return 0;
}
運行結果：
例十一 最佳加法表達式
例十二 神奇的口袋
題目描述：
有一個神奇的口袋，總的容積是40，用這個口袋可以變出一些物品，這些物品的總體積必須是40。John現在有n個想要得到的物品，每個物品的體積分別是 a1，a2……an。John可以從這些物品中選擇一些，如果選出的物體的總體積是40，那麼利用這個神奇的口袋，John就可以得到這些物品。現在的問題是，John有多少種不同的選擇物品的方式。
輸入：
輸入的第一行是正整數n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的數目。接下來的n行，每行有一個1到40之間的正整數，分別給出 a1，a2……an的值。
輸出：
輸出不同的選擇物品的方式的數目。
代碼如下：
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int N;
int a[20+1];
int Ways[40+1][20+1]; //Ways[i][j]表示從前j中物品中湊出體積i的方法數
int main()
{
cin>>N;
memset(Ways,0,sizeof(Ways));
for(int i=1;i<=N;++i) //下標從1開始
{
cin>>a[i];
Ways[0][i]=1;
}
Ways[0][0]=1;
for(int m=1;m<=40;++m)
{
for(int k=1;k<=N;++k)
{
Ways[m][k]=Ways[m][k-1];
if(m-a[k]>=0)
Ways[m][k]+=Ways[m-a[k]][k-1];
}
}
cout<<Ways[40][N]<<endl;
return 0;
}
/*
#include<iostream>
using namespace std;
int a[21];
int Ways(int m,int k)
{
if(m==0)
return 1;
if(k<=0)
return 0;
return Ways(m,k-1)+Ways(m-a[k],k-1);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
cin>>a[i];
cout<<Ways(40,n)<<endl;
return 0;
}
*/
運行結果：
例十三 0-1揹包問題
例十四 多重揹包問題
https://blog.csdn.net/weixin_45953673/article/details/104932290