均分紙牌及糖果傳遞問題

題目鏈接：

http://codevs.cn/problem/1098/

題意：

有 N 堆紙牌，編號分別爲 1，2，…, N。每堆上有若干張，但紙牌總數必爲 N 的倍數。可以在任一堆上取若於張紙牌，然後移動。
移牌規則爲：在編號爲 1 堆上取的紙牌，只能移到編號爲 2 的堆上；在編號爲 N 的堆上取的紙牌，只能移到編號爲 N-1 的堆上；其他堆上取的紙牌，可以移到相鄰左邊或右邊的堆上。
現在要求找出一種移動方法，用最少的移動次數使每堆上紙牌數都一樣多。

分析：

首先明確順序隨意且紙牌的移動順序並不影響最終的移動次數。
那麼我們假設按照由左而右的順序移動。
首先考慮第一張紙牌，如果數量不滿足平均，那麼後續必有一個步驟是移走他多餘的紙牌的，所以肯定是把他所有多餘紙牌一次性拿走是最優的，同理若不足平均值，則用他右邊的紙牌數來一次性補充滿足，那麼現在問題來了，如果右邊的紙牌數不夠移給他左邊的怎麼辦。。我們在移動過程中，只是改變了移動的順序，而移動的次數不變，後面肯定會有一個步驟使得右邊的紙牌數增加，那麼我們讓這個步驟先行即可。
貪心的關鍵是，減少操作數一次性讓紙牌滿足條件，順序不會影響答案，出現負數的情況也繼續操作。

代碼：

/*
On a hill is a tree, on a tree is a bough;
My heart for the Lord, but he never knows.

--Created by jiangyuzhu
--2016/5/17
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << ": " << x << "  "
#define pl(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define sa(x) scanf("%d",&(x))
#define sal(x) scanf("%I64d",&(x))
#define mdzz cout<<"mdzz"<<endl;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e2 + 5, mod = 1e9 + 7;
int a[maxn];
int main(void)
{
   int n;sa(n);
   int tot = 0;
   for(int i = 0; i < n; i++){
        sa(a[i]);
        tot += a[i];
   }
    tot /= n;
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(a[i] == tot) continue;
        if(a[i] < tot) a[i + 1] -= tot - a[i];
        if(a[i] > tot) a[i + 1] += a[i] - tot;
        ans++;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

題目鏈接：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1045

題意：

有n 個小朋友坐成一圈，每人有ai 個糖果。每人只能給左右兩人傳遞糖果。每人每次傳遞一個糖果代價爲1。問最小代價。

分析：

證明摘自：http://hzwer.com/2656.html
我們用xi 表示第i 個小朋友給第i−1 個小朋友的糖果數，其中x1 表示第1 個小朋友給第n 個朋友的糖果數，那麼最終答案即爲|x1|+|x2|+...|xn| 。
我們假設最後每個人剩avg 個糖果，那麼可以得到：
對於第一個小朋友：a1+x2−x1=avg
對於第二個小朋友：a2+x3−x2=avg
…
對於最後一個小朋友：an+x1−xn=avg
整理一下即可得到：
x2=avg−a1+x1
x3=avg−a2+x2=2avg+x1−a2−a1
…
xn=avg−an−1+xn−1=(n−1)avg+x1−∑n−1i=1ai
我們令ci=∑ij=1ai+i×avg ，上述式子即可轉化爲求解|x1|+|x1−c1|+|x1−c2|...+|x1−cn−1| 的最小值，那麼直接令x1 等於c 的中位數即可。

代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << ": " << x << "  "
#define pl(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define sa(x) scanf("%d",&(x))
#define sal(x) scanf("%lld",&(x))
#define mdzz cout<<"mdzz"<<endl;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 5, mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn], c[maxn];
int main(void)
{
   int n;sa(n);
   ll tot = 0;
   for(int i = 0; i < n; i++){
        sal(a[i]);
        tot += a[i];
   }
    tot /= n;
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        c[i] = c[i - 1] + a[i] - tot;
    sort(c, c + n);
    int t = c[n / 2];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        ans += abs(c[i] - t);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}