【算法設計與分析】整數劃分問題（遞歸）

問題描述：該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。考慮求f(n,m)的方法，m爲n劃分的子數中最大的整數。

例如：當n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被認爲是同一個劃分。

遞歸法：

   根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

   (1)當n=1時，不論m的值爲多少（m>0)，只有一種劃分即{1}；

   (2)當m=1時，不論n的值爲多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

   (3)當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分爲兩種情況：

      (a)劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

      (b)劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n);

   (5)但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分爲兩種情況：

       (a)劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和爲n-m，因此這情況下爲f(n-m,m)

       (b)劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數爲f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      綜上所述：

                             f(n, m) = 1;          (n=1 or m=1)

                       f(n,m) = f(n, n);         (n<m)

               f(n,m) = 1 + f(n, m-1);       (n=m)

      f(n,m) = f(n-m,m) + f(n,m-1);     (n>m)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int f(n, m)
{
	if (n == 1 || m == 1) return 1;
	if (n < m) return f(n, n);
	if (n == m) return  1 + f(n, m - 1);
	if (n>m) return f(n - m, m) + f(n, m-1);
}

void main()
{
	int n, sum;
	printf("請輸入整數:");
	scanf_s("%d",&n);
	sum = f(n, n);
	printf("共有%d個劃分\n",sum);
	system("pause");
}

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