【算法设计与分析】整数划分问题（递归）

问题描述：该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。考虑求f(n,m)的方法，m为n划分的子数中最大的整数。

例如：当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

递归法：

   根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}；

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下为f(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      综上所述：

                             f(n, m) = 1;          (n=1 or m=1)

                       f(n,m) = f(n, n);         (n<m)

               f(n,m) = 1 + f(n, m-1);       (n=m)

      f(n,m) = f(n-m,m) + f(n,m-1);     (n>m)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int f(n, m)
{
	if (n == 1 || m == 1) return 1;
	if (n < m) return f(n, n);
	if (n == m) return  1 + f(n, m - 1);
	if (n>m) return f(n - m, m) + f(n, m-1);
}

void main()
{
	int n, sum;
	printf("请输入整数:");
	scanf_s("%d",&n);
	sum = f(n, n);
	printf("共有%d个划分\n",sum);
	system("pause");
}

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