貝祖公式證明
前言：最近寫一道算法題的過程中，遇到了關於貝祖公式的題目，發現其實很簡單。根據前人總結證明方法，進行歸納，在此證明。
一. 歐幾里得算法
要證明貝祖公式，首先需要知道歐幾里得算法，歐幾里得算法也叫輾轉相除法，用於求兩個整數之間的最大公約數。
公式如下：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且 a mod b 不爲0)
證明如下：
- 因爲a>b，所以a可以表示爲kb+r，r=a mod b
- 從左往右看，假設d是a，b的一個公約數，那麼a和b都可以被d整除，r=a-kb，自然r也可以被d整除，所以d也是(b，r)，也就是(b，a mod b)的公約數。
- 反過來，假如d是b和r = a mod b的一個公約數，則有b和r都可以被d整除，根據a=kb+r，自然a也可以被d整除，所以d也是(a，b)的公約數。
- 因此，（a，b）和（b，a mod b）的公約數一致，自然最大公約數也一致。
歐幾里得算法應用：不斷運用該算法，即“兩個整數的最大公約數，等於其中較小的那個數和較大數對較小數取模結果的最大公約數。” 將兩個數縮小，直到一個數爲0，另一個數就是最小公約數
eg，求12和42的最大公約數，gcd(12,42) = gcd(12,6)=gcd(6,0)=6
二、貝祖公式
- 根據前面推導的歐幾里得算法，貝祖公式就應運而生啦！
- 兩個數的最大公約數可以用兩個數的整數倍相加表示，比如6 = 42×1 + 12×(-3)
- 具體公式爲：
給定兩個整數a和b，一定存在整數x和y，使得ax+by = gcd(a,b)
- 下面我們來證明貝祖公式爲什麼是對的？
假設 a>b，當b>0時：
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假設，a和b的貝祖公式解爲x1和y1，即a·x1+b·y1 = gcd(a,b)
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假設，b和a mod b的貝祖公式的解爲x2和y2，即b·x2+(a mod b)·y2 = gcd(b,a mod b)
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根據歐幾里得算法，我們可以知道，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
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因此，a·x1+b·y1 = b·x2+(a mod b)·y2
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a·x1+b·y1 = b·x2+(a - [a/b]·b )·y2 = a·y2 + b·(x2 - [a/b]·y2 )
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一一對應，可以得到兩個等式：
x1 = y2 ①
y1 = (x2 - [a/b]·y2 ) ② -
即，a和b貝祖公式的解，可以通過b和a mod b的貝祖公式的解得到，這樣就構成了一個遞歸求解的過程，根據歐幾里得算法，層層向下，一直到一個數爲0（即b=0時），另一個數是最小公約數。
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因爲b=0，gcd(a,b) = a，貝祖公式 ax = gcd(a,b) = a，x=1，y可以取0。然後再回溯計算，就可以得到最終的x1和y1啦！(＾－＾)V