贝祖公式证明
前言：最近写一道算法题的过程中，遇到了关于贝祖公式的题目，发现其实很简单。根据前人总结证明方法，进行归纳，在此证明。
一. 欧几里得算法
要证明贝祖公式，首先需要知道欧几里得算法，欧几里得算法也叫辗转相除法，用于求两个整数之间的最大公约数。
公式如下：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且 a mod b 不为0)
证明如下：
- 因为a>b，所以a可以表示为kb+r，r=a mod b
- 从左往右看，假设d是a，b的一个公约数，那么a和b都可以被d整除，r=a-kb，自然r也可以被d整除，所以d也是(b，r)，也就是(b，a mod b)的公约数。
- 反过来，假如d是b和r = a mod b的一个公约数，则有b和r都可以被d整除，根据a=kb+r，自然a也可以被d整除，所以d也是(a，b)的公约数。
- 因此，（a，b）和（b，a mod b）的公约数一致，自然最大公约数也一致。
欧几里得算法应用：不断运用该算法，即“两个整数的最大公约数，等于其中较小的那个数和较大数对较小数取模结果的最大公约数。” 将两个数缩小，直到一个数为0，另一个数就是最小公约数
eg，求12和42的最大公约数，gcd(12,42) = gcd(12,6)=gcd(6,0)=6
二、贝祖公式
- 根据前面推导的欧几里得算法，贝祖公式就应运而生啦！
- 两个数的最大公约数可以用两个数的整数倍相加表示，比如6 = 42×1 + 12×(-3)
- 具体公式为：
给定两个整数a和b，一定存在整数x和y，使得ax+by = gcd(a,b)
- 下面我们来证明贝祖公式为什么是对的？
假设 a>b，当b>0时：
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假设，a和b的贝祖公式解为x1和y1，即a·x1+b·y1 = gcd(a,b)
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假设，b和a mod b的贝祖公式的解为x2和y2，即b·x2+(a mod b)·y2 = gcd(b,a mod b)
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根据欧几里得算法，我们可以知道，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
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因此，a·x1+b·y1 = b·x2+(a mod b)·y2
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a·x1+b·y1 = b·x2+(a - [a/b]·b )·y2 = a·y2 + b·(x2 - [a/b]·y2 )
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一一对应，可以得到两个等式：
x1 = y2 ①
y1 = (x2 - [a/b]·y2 ) ② -
即，a和b贝祖公式的解，可以通过b和a mod b的贝祖公式的解得到，这样就构成了一个递归求解的过程，根据欧几里得算法，层层向下，一直到一个数为0（即b=0时），另一个数是最小公约数。
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因为b=0，gcd(a,b) = a，贝祖公式 ax = gcd(a,b) = a，x=1，y可以取0。然后再回溯计算，就可以得到最终的x1和y1啦！(＾－＾)V