【算法導論-主定理】用主方法求解遞歸式 學練結合版

問題：若某算法的計算時間表示爲遞推關係式：T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1

則該算法的時間複雜度爲( )。
O(Nsqrt(N))
O(NlogN)
O(N(logN)^2)
O(N^2logN)
O(N^2)

解析：

應該是 O(N(logN)^2)
參考網址：主定理和《算法導論》

但是博主說其實你不會主定理也沒事兒，只要能找幾個特殊值帶入，並根據符號O的意義排除選項即可。所以……其實可以投機取巧。（望天）
主定理在《算法導論》的第53頁時間複雜度章節有講到（是的，黑色的很厚的那本）



對於三種情況的每一種，我們將函數f(n)與函數$n^{log_ba}$進行比較。 直覺上， 兩個函數較大者決定了遞歸式的解。若函數$n^{log_ba}$更大，如情況1,則解爲$T(n)=Θ(n^{log_ba})$。若函數f(n)更大，如情況3,則解爲$T(n)=Θ(f(n))$。若兩個函數大小相當， 如情況2,則乘上一個對數因子，解爲$T(n)= Θ(n^{log_ba}lgn) = Θ(f(n)lgn)。$
注意， 這三種情況並未覆蓋f(n)的所有可能性。情況1和情況2之間有一定間隙，f(n)可能小於$n^{log_ba}$但不是多項式意義上的小於。 類似地，情況2和情況3之間也有一定間隙 ，f(n)可能大於$n^{log_ba}$．但不是多項式意義上的大於。如果函數f(n)落在這兩個間隙中，或者情況3中要求的正則條件不成立，就不能使用主方法來求解遞歸式。
在第一種情況中，不是 f(n)小於$n^{log_ba}$就夠了，
而是要多項式意義上的小於。 也就是說，f(n)必須漸近小於$n^{log_ba}$，要相差一個因子$n^ϵ$，其中ϵ是大於0的常數。 在第三種情況中，不是f(n)大於$n^{log_ba}$就夠了，而是要多項式意義上的大於，而且還要滿足“正則”條件$af(n/b)\leq cf(n)$。我們將會遇到的多項式界的函數中， 多數都滿足此條件。
假設我們有遞推關係式：

根據這個題，$T(N)=2T(N/2)+NlogN 且 T(1)=1，$可知 $a=2，b=2，f(n)=NlogN，$所以將函數$f(n)=NlogN$與函數$N^{log_22}logN=NlogN$進行比較，他們複雜度相近，是情況2。從而根據公式：
$f(n)=Θ(n^{log_ba}log_kn) ，則T(n)=Θ(n^{log_ba}log^{k+1}n)。$
有：
$\Gamma(n) = n^{log_22}*(log^2n)\,= n(logn)^2$

類題試解：

1.二叉樹的遍歷：$T(n)=2T(\frac{n}{2})+Θ(1)$

可知$a=2，b=2，f(n)=1$, $n^{log_22}=n$比$f(n)=Θ(1)$大，是情況1，則根據公式，解爲$T(n)=Θ(n^{log_22})=Θ(n)$

2.二分搜索（折半搜索）$T(n)=T(\frac{n}{2})+Θ(1)$

可知a=1，b=2，f(n)=Θ(1),
$n^{log_21}=n^0=1$，故f(n)和O(1)複雜度相近，是情況2，
根據公式，$T(n)=lgn$

3.最大子數組問題和歸併排序的分治算法的運行時間:$T(n)=2T(\frac{n}{2})+Θ(n)$

可知a=2，b=2，$f(n)=Θ(n)$
$n^{log_22}=n$和$f(n)=Θ(n)$相近，是情況2，
根據公式，$T(n)= Θ(n^{log_ba}lgn) = Θ(f(n)lgn)。$
可得$T(n)= Θ(n^{log_22}lgn) = Θ(nlog_2n)。$

4.遞歸式$T(n) = 3T(n/4) +nlgn$

我們有$a=3,b=4, f(n)=nlgn$,而$n^{log_43}=O(n^{0.793})$
由於$f(n)=\Omega(n^{log_43+ϵ})=\Omega(n^{0.793+ϵ})$，其中$ϵ\approx1-0.793=0.2$， $f(n)=nlgn>n^{log_43}$滿足情況3。且對常數c=0.75和所有足夠大的n有$3(n/4)lg(n/4)\leq 0.75nlgn=cf(n)$
故解爲$T(n)= Θ(nlgn)$

5.矩陣乘法問題第一個分治算法$T(n)=8T(\frac{n}{2})+Θ(n^2)$

有$a=8,b=2,f(n)=n^2$,$n^{log_28}=n^3$可以看出$f(n)=n^2<n^3$，應該是情況1，其中$ϵ=1$
故$T(n)= Θ(n^3)$

6.Strassen算法的運行時間$T(n) = 7T(n/2) +Θ(n^2)$

有a=7，b=2，$n^{log_27}\approx n^{2.805}>n^2,故f(n)<n^{2.805}$，應用情況1公式：
故$T(n)= Θ(n^{log_27})$
改寫底爲$lg7$

$log_27=\frac{lg7}{lg2}=\frac{0.84}{0.3}=2.807$
算法導論中的lg以2爲底
故$T(n)= Θ(n^{lg7})=Θ(n^{2.807})$

不能使用主定理的情況：$T(n) = 2T(n/2) +Θ(nlgn)$

其中$a=2，b=2，f(n)=nlgn$
而$log_22=n$ 而$f(n)=nlgn$漸進大於n，而不是多項式大於n
（多項式意義上的大於，顧名思義，就是兩個函數的商大於一個多項式。嚴格表述爲如下形式：當我們說f(x)多項式意義上大於g(x)時，我們是指：存在實數e>0，使得f(x)>g(x)*n^e。）

因此， 遞歸式落入了情況2和情況3之間的間隙，不可以使用主定理。
不過可以利用公式：
$f(n)=Θ(n^{log_ba}log_kn) ，則T(n)=Θ(n^{log_ba}log^{k+1}n)。$
根據算法導論P73的上下界取整：

可知$O(Nlog^2_2N)$是T(n)的上界（$O(N^3)$也是上界，但是不是緊確界)