同系列算法問題
N皇后問題
問題
在n*n格的棋盤撒上放置彼此不受攻擊的n個皇后。按照國際象棋的規矩，皇后可以攻擊與之處在同一行或者同一列或者同一斜線上的棋子。N皇后問題等價於在n * n格的棋盤上放置n個皇后，任何2個皇后不放在同一行同一列同一斜線上。
問題概述
可以將n*n的棋盤看成一個n*n的表格，放置皇后Q，且需要滿足兩個條件
- 條件1：同行同列不能放置兩個或大於兩個皇后
- 條件2：皇后的斜線上不能存在皇后
| 1 | 2 | ... | n |
| 2 | |||
| ... | |||
| n |
例如：
- 4皇后的2種擺法（一種顏色表示一種擺法）：
N皇后也是類似的處理方式
分析問題
通過以上的問題概述，可以知道。N皇后的擺法可以通過列表進行將問題抽離出來
例如4皇后問題:
可以定義一個列表嵌套子列表，第i個子列表中表示第i種擺法，那麼第1個子列表，即第1種擺法，應該爲[1,1,1,1]
不考慮限制條件：
那麼問題模型就是[[1,1,1,1],...]，即代表子列表[_,_,_,_]有多少種存放可能，列表又存放子列表，那麼4皇后的列表長度爲4*4*4*4=256
N皇后的列表長度爲n*n*n*n；
首先條件有2個，即上面的條件1和條件2
如何不考慮限制條件的可能再加上這兩個條件的限制，那麼就是答案了
考慮限制條件-條件1
首先考慮條件1：同行同列不能放置兩個或大於兩個皇后
子列表表示的是皇后的擺放位置，例如[1,2,3,4]：
那麼列表的第1個元素表示的是皇后擺放在棋盤的第一行第一列，
第2個元素表示的是皇后擺放在棋盤的第二行第二列，依次類推
逆推導：行值是列表的第幾個元素，列值是列表元素的值
那麼，可以知道，當列表中出現兩個或者兩個以上的相同元素時，即不滿足條件1
爲了提高算法效率，我們可以將不考慮限制條件和考慮條件1相結合，那麼就是全排列算法
例如對於列表[1,2,3,4]，全排列爲[1,2,3,4],[1,2,4,3]...一共有4!=24種
考慮限制條件-條件2
條件2：皇后的斜線上不能存在皇后
斜線在表格中表示的是斜率爲+1的直線，例如以下：
滿足條件2，可以將滿足條件1問題的所有解空間，進行條件限制，可以通過函數實現，這個函數即是剪枝函數
對於滿足條件1問題的所有解空間，模型是[_,_,_,_]
元素的位置是行值,元素的值是列值，例如[1,2,3,4],，即如下表示
從以上模型可得，
i,j表示行值，a[i],a[j]表示列值
- |a[i]-a[j]| = |i-j|，即不滿足條件2
- |a[i]-a[j]| != |i-j|,即滿足條件2
解決問題
- 全排列算法的實現
使用遞歸和回溯，注意遞歸體前後語句的意義
- 剪枝函數的實現
函數範圍
0<i<len(皇后的個數)
i+1<j<len(皇后的個數)
函數邏輯
通過兩層for循環實現，通過定義常量，並在語句塊中自增，判斷語句塊是否被執行，實現對解空間的篩選
編程
編程流程以及數據類型選擇
結合以上分析，有以下步驟：
- 首先定義一個列表，爲素材列表[1,2,3,..,n]
- 定義一個列表，存儲全排列的結果；對素材列表進行全排列，並存入該列表中，爲全排列列表
- 定義一個列表，用於存儲滿足條件2的列表，爲結果列表
- 根據結果列表，進行格式打印
發現問題以及解決
全排列算法的實現，可以通過問題抽象小化，檢查邏輯是否正確。
最終實現
程序代碼：
#name:queens
#author:zhj1121
#time:2019.11.16
#全排列函數
per_result = []
def per(lst,s,e):
if s == e:
per_result.append(list(lst))
else:
for i in range(s,e):
lst[i],lst[s] = lst[s],lst[i]#試探
per(lst,s+1,e)#遞歸
lst[i],lst[s] = lst[s],lst[i]#回溯
#剪枝函數
#args:[1,2,3,4]
#return true or false
def shear(lst):
result = 0
for i in range(len(lst)):
for j in range(i+1,len(lst)):
if(abs(lst[j] - lst[i]) == abs(j-i)):
result += 1
if(result > 0):
return True
else:
return False
#格式打印函數
def stamp(st):
for i in st:
for j in range(len(i)):
a = ("."*(i[j]-1)+"#"+"."*(len(i)-i[j]))
print(a,"\t","第{}個皇后放在棋盤的第{}列".format(j+1,i[j]))
print(" ")#負責空行
num = eval(input("請輸入皇后的個數："))
lst = [i+1 for i in range(num)]
per(lst,0,num)
queen_lst = []
for i in per_result:
if(shear(i) == False):
queen_lst.append(i)
stamp(queen_lst)
print("共{:d}種可能".format(len(queen_lst)))
運行結果截圖：
4皇后
8皇后
總結
程序缺陷以及完善
回溯法解決N皇后問題並不是一個好的算法，之所以這麼說，是因爲回溯法的使用，類似於窮舉法，再加剪枝函數，雖然運行的最終結果是正確的，但其時間複雜度並沒有質的改變。
在往後的學習中，會進行嘗試使用其它的方式解決問題。
解題心路歷程
大致如上，不再概述。
本篇已完成，如有更改，會在此列出