BZOJ1016([JSOI2008]最小生成樹計數)Kruskal+Matrix_Tree定理

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 *題目地址：
 *http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1016
 *
 *題目大意：
 *給出一個簡單無向加權圖,求這個圖中有多少個不同的最小生成樹；
 *由於不同的最小生成樹可能很多,所以只需輸出方案數對31011的模就可以了;
 *
 *算法思想：
 *Kruskal+Matrix_Tree定理;
 *
 *先按照任意順序對等長的邊進行排序;
 *然後利用並查集將所有長度爲L0的邊的處理當作一個階段來整體看待;
 *可以定義一個數組的vector向量來保存每一個連通塊的邊的信息;
 *即將原圖劃分成多個連通塊,每個連通塊裏面的邊的權值都相同;
 *針對每一個連通塊構建對應的Kirchhoff矩陣C,利用Matrix_Tree定理求每一個連通塊的生成樹個數;
 *最後把他們的值相乘即可;
 *
 *Matrix_Tree定理:
 *G的所有不同的生成樹的個數等於其Kirchhoff矩陣C[G]任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值；
 *n-1階主子式就是對於r(1≤r≤n),將C[G]的第r行,第r列同時去掉後得到的新矩陣,用Cr[G]表示;
**/

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    Problem: 1016
    User: Jarily
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:12 ms
    Memory:1388 kb
****************************************************************/
 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
 
const int N=111;
const int M=1111;
const int mod=31011;
 
struct Edges
{
    int a,b,c;
    bool operator<(const Edges & x)const
    {
        return c<x.c;
    }
} edge[M];
 
int n,m;
int f[N],U[N],vist[N];//f,U都是並查集，U是每組邊臨時使用
int G[N][N],C[N][N];//G頂點之間的關係，C爲生成樹計數用的Kirchhoff矩陣
 
vector<int>V[N];//記錄每個連通分量
 
int Find(int x,int f[])
{
    if(x==f[x])
        return x;
    else
        return Find(f[x],f);
}
 
int det(int a[][N],int n)//生成樹計數:Matrix-Tree定理
{
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            a[i][j]%=mod;
    int ret=1;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        for(int j=i+1; j<n; j++)
            while(a[j][i])
            {
                int t=a[i][i]/a[j][i];
                for(int k=i; k<n; k++)
                    a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t)%mod;
                for(int k=i; k<n; k++)
                    swap(a[i][k],a[j][k]);
                ret=-ret;
            }
        if(a[i][i]==0)
            return 0;
        ret=ret*a[i][i]%mod;
    }
    if(ret<0)
        ret=-ret;
    return (ret+mod)%mod;
}
 
void Solve()
{
    sort(edge,edge+m);//按權值排序
    for(int i=1; i<=n; i++)//初始化並查集
    {
        f[i]=i;
        vist[i]=0;
    }
 
    int Edge=-1;//記錄相同的權值的邊
    int ans=1;
    for(int k=0; k<=m; k++)
    {
        if(edge[k].c!=Edge||k==m)//一組相等的邊,即權值都爲Edge的邊加完
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                if(vist[i])
                {
                    int u=Find(i,U);
                    V[u].push_back(i);
                    vist[i]=0;
                }
            }
            for(int i=1; i<=n; i++) //枚舉每個連通分量
            {
                if(V[i].size()>1)
                {
                    for(int a=1; a<=n; a++)
                        for(int b=1; b<=n; b++)
                            C[a][b]=0;
                    int len=V[i].size();
                    for(int a=0; a<len; a++) //構建Kirchhoff矩陣C
                        for(int b=a+1; b<len; b++)
                        {
                            int a1=V[i][a];
                            int b1=V[i][b];
                            C[a][b]=(C[b][a]-=G[a1][b1]);
                            C[a][a]+=G[a1][b1];//連通分量的度
                            C[b][b]+=G[a1][b1];
                        }
                    int ret=(int)det(C,len);
                    ans=(ans*ret)%mod;//對V中的每一個連通塊求生成樹個數再相乘
                    for(int a=0; a<len; a++)
                        f[V[i][a]]=i;
                }
            }
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                U[i]=f[i]=Find(i,f);
                V[i].clear();
            }
            if(k==m)
                break;
            Edge=edge[k].c;
        }
 
        int a=edge[k].a;
        int b=edge[k].b;
        int a1=Find(a,f);
        int b1=Find(b,f);
        if(a1==b1)
            continue;
        vist[a1]=vist[b1]=1;
        U[Find(a1,U)]=Find(b1,U);//並查集操作
        G[a1][b1]++;
        G[b1][a1]++;
    }
 
    int flag=0;
    for(int i=2; i<=n&&!flag; i++)
        if(U[i]!=U[i-1])
            flag=1;
    if(m==0)
        flag=1;
    printf("%d\n",flag?0:ans%mod);
 
}
 
int main()
{
    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(G,0,sizeof(G));
        for(int i=1; i<=n; i++)
            V[i].clear();
        for(int i=0; i<m; i++)
            scanf("%d%d%d",&edge[i].a,&edge[i].b,&edge[i].c);
        Solve();
    }
    return 0;
}