計算機算法分析之漸進記號

前言

在學習計算機算法時，知道插入排序的時間複雜度是O(n²)，那O記號到底是什麼意思呢？本文主要介紹幾個算法分析時用到的記號。

大O記號

定義：O(g(n)) = { f(n) : 存在正常數c和n₀ ，使對所有的n >= n₀，都有 0 <= f(n) <= cg(n) }。大O記號給出函數的漸進上界。

， 則可以表示爲 f(n) = O(n²)。證明：

要使得 0 <= f(n) <= cg(n)     

存在c = 9/2 ,n₀ = 1,使得對所有的n >= n₀都有 0 <= f(n) <= cg(n)。

f(n)不高於g(n)的階

O(g(n) 以及後面講到的記號表示的都是集合，而f(n) = O(n²)的實際意義 是 f(n) ∈ O(n²)。

假設有  ， 

則 g(n) = O(n²) , f(n) = O(n²)

大Ω記號

定義：Ω(g(n)) = { f(n) : 存在正常數c和n₀ ，使對所有的n >= n₀，都有 0 <= cg(n) <= f(n) }。大Ω記號給出函數的漸進下界。

f(n)不低於g(n)的階

假設有  ，  

則 g(n) = Ω(n) , f(n) = Ω(n)

大Θ記號

定義：Θ(g(n)) = { f(n) : 存在正常數c₁和c₂和n₀ ，使對所有的n >= n₀，都有 0 <= c₁g(n) <= f(n) <= c₂g(n) }。大Θ記號給出函數的漸進確界。

f(n)與g(n)的階數相同

假設有  ， 

則 g(n) = Θ(n) , f(n) =Θ(n²)

小O記號

定義：o(g(n)) = { f(n) : 對任意正常數c，存在n₀ ，使對所有的n >= n₀，都有 0 <= f(n) <= cg(n) }。小o記號給出函數的非漸進緊確的上界。

f(n)小於g(n)的階

假設有  ， 

則 g(n) = o(n²) , f(n) O(n²)

小記號

定義：(g(n)) = { f(n) : 對任意正常數c，存在n₀ ，使對所有的n >= n₀，都有 0 <= cg(n) <= f(n) }。小記號給出函數的非漸進緊確的下界。

f(n)高於g(n)的階

假設有  ， 

則 g(n)  (n) , f(n) = (n)

總結

並不是所有的函數都可以漸進比較的，如果 的極限值不存在（不等於0，常數以及無窮大）。比如

的極限就不存在而且不等於無窮大。