一維離散傅里葉變換

直接上乾貨

一. 歐拉公式

二. 傅里葉變換

1. N爲採樣的總個數，也就是樣本的總個數
   
2. 應用歐拉公式

三. 傅里葉逆變換

1. 公式
   

---

四. c++編程實現

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;

#define PI 3.1415926535

class FFT {
private:
	double real[8], imag[8];
	double re[8], im[8];
	int i = 0;
public:
	FFT() {};
	void init();
	void print();
	void fft();
	void ifft();
};

void FFT::init()
{
	for (int i = 1; i < 9; i++)
		real[i-1] = double(i), imag[i-1] = 0.0;
}

void FFT::print()
{
	if (i==0)
		cout << "原始數據" << endl;
	i++;
	for (int i = 0; i < 8; i++)
		cout << real[i] << " " << imag[i] << endl;
	
}

void FFT::fft()
{
	double a=0, b=0;
	for (int i = 0; i < 8; i++)
	{
		a = 0; b = 0;
		for (int j = 0; j < 8; j++)
		{
			a += real[j] * cos((2 * PI*i*j) / 8);
			b += real[j] * sin((2 * PI*i*j) / 8);
		}
		re[i] = a;
		im[i] = -b;
	}
	cout << "變換後的數據" << endl;
	for (int i = 0; i < 8; i++)
	{
		cout << re[i] << " " <<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(10)<< im[i] << endl;
	}

}

void FFT::ifft()
{
	double a = 0, b = 0;
	for (int i = 0; i < 8; i++)
	{
		a = 0;
		b = 0;
		for (int j = 0; j < 8; j++)
		{
			a += re[j] * cos((i*j * 2 * PI) / 8) - im[j] * sin((i*j * 2 * PI) / 8);
			b += im[j] * cos((i*j * 2 * PI) / 8) + re[j] * sin((i*j * 2 * PI) / 8);
		}
		real[i] = a / 8;
		imag[i] = b / 8;
	}
}
int main()
{
	FFT a;
	a.init();
	a.print();
	a.fft();
	a.ifft();
	cout << "逆變換後的數據" << endl;
	a.print();
	return 0;
}

1. 程序結果
   

---

剛開始學，理解程度不夠，只能寫一下公式，程序，哎。O(∩_∩)O哈哈~

Thank for your reading ！！！