二維離散傅里葉變換

在學完一維的傅里葉變換後，緊接着就是二維的傅里葉變換了。直接上乾貨吧！！！
途中會用到opencv讀取與顯示圖片。

一. 公式

1. M表示圖像的行數，N表示圖像的列數。
   
2. 經過歐拉公式可以得一下形式，這樣就可以輕鬆得到實部和虛部了。
   
3. 其逆變換
   4. 將傅里葉保護後的圖像中心化。只需要在傅里葉變換的f(x,y)前面成以一個（-1）的x+y次方就可以了。其數學推導可以自行去百度。
   
   看完上面的公式之後，下面開始編程實現拉，使用的是C++。

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二. 編程實現DTF

1. 代碼中有詳細的註釋。就不在這裏作過多的解釋了。

2. 頭文件包含及以下宏定義

#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<opencv2/core/core.hpp>
#include<iostream>
#include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;

#define PI 3.1415926535    //定義π
#define col 100				//圖像的行數爲100，再大的話運算量太大的。
#define row 100				//圖像的列數爲100。

3. 類的定義

class FFT {
private:
	double img[col][row];    //保存輸入的數據，輸入的數據只有實部
	
	double re[col][row];    //保存DFT後的實部
	double im[col][row]; 	//保存DFT後的虛部
	Mat a = imread("1.jpg", 0);   //讀取圖像
public:
	void init();       //將讀取的圖像數據寫入img中
	void dft();			//進行DFT變換
	void idft();		//進行DFT逆變換
	
	void reserve();
	void fudu();       //計算幅度值。
	void show();
};

4. init()函數

void FFT::init()
{
	int b;
	resize(a, a, Size(100, 100));   //將圖像resize到（100,100）
	for (int i = 0; i < 100; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 100; j++)
		{
			b = a.at<uchar>(i, j);   //得到每一個像素值
			img[i][j] = b;
		}
	}
}

5. dft()函數

void FFT::dft()
{
	double a, b;
	for(int n=0;n<col;n++)
		for (int m = 0; m < row; m++)
		{
			a = 0.0;
			b = 0.0;
			for (int i = 0; i < col; i++)
			{
				
				for (int j = 0; j < row; j++)
				{
				//根據公式列表達式
					a += pow(-1, i + j)*img[i][j] * cos(2 * PI*(((double(n*i) / double(col))+(double((m*j))/double(row)))));
					b += pow(-1, i + j)*img[i][j] * sin(2 * PI*(((double(n*i) / double(col)) + (double((m*j)) / double(row)))));
				}
			}
			//將計算的值寫入對應的變量中，這裏已經進行了中心化操作
			re[n][m] = a;
			im[n][m] = -b;
		}
}

6. idft()函數

void FFT::idft()
{
	double a;
	for (int n = 0; n < col; n++)
	{
		for (int m = 0; m < row; m++)
		{
			a = 0.0;
			for (int i = 0; i < col; i++)
			{
				for (int j = 0; j < row; j++)
				{
					//這裏只求其逆變換的實部，與原圖片對比。
					a += re[i][j] * cos(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row)))) - im[i][j] * sin(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row))));
				}
			}
			re[n][m] = ((1. / (10000.))*a);
		}
	}
}

7. fudu()函數

void FFT::fudu()
{
	int b;
	for(int i=0;i<col;i++)
		for (int j = 0; j < row; j++)
		{
			//計算幅度值
			b = sqrt(re[i][j] * re[i][j] + im[i][j] * im[i][j]);
			b = b / 255;    //歸一化到0-255
			//寫入Mat中，便於可視化
			a.at<uchar>(i, j) = b;
		}
	//顯示DTF幅度場
	imshow("aa", a);
	waitKey(0);
}

8. show()函數

//顯示逆變換後的圖像，看看與原始圖像是不是一樣的。
void FFT::show()
{
	for(int i=0;i<col;i++)
		for (int j = 0; j < row; j++)
		{
			a.at<uchar>(i, j) = re[i][j];
		}
	imshow("aa", a);
	waitKey(0);
}

9. main()函數

int main(void)
{
	FFT a;
	
	a.init();
	a.dft();
	a.idft();
	a.fudu();
	//a.show();
	return 0;
}

所有的函數都實現了，下面來看看實現的效果吧！
原始圖像

DFT後的振幅場

逆變換後的圖像，差距有點大O(∩_∩)O。

Thank for your reading ！！！！