二维离散傅里叶变换

在学完一维的傅里叶变换后，紧接着就是二维的傅里叶变换了。直接上干货吧！！！
途中会用到opencv读取与显示图片。

一. 公式

1. M表示图像的行数，N表示图像的列数。
   
2. 经过欧拉公式可以得一下形式，这样就可以轻松得到实部和虚部了。
   
3. 其逆变换
   4. 将傅里叶保护后的图像中心化。只需要在傅里叶变换的f(x,y)前面成以一个（-1）的x+y次方就可以了。其数学推导可以自行去百度。
   
   看完上面的公式之后，下面开始编程实现拉，使用的是C++。

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二. 编程实现DTF

1. 代码中有详细的注释。就不在这里作过多的解释了。

2. 头文件包含及以下宏定义

#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<opencv2/core/core.hpp>
#include<iostream>
#include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;

#define PI 3.1415926535    //定义π
#define col 100				//图像的行数为100，再大的话运算量太大的。
#define row 100				//图像的列数为100。

3. 类的定义

class FFT {
private:
	double img[col][row];    //保存输入的数据，输入的数据只有实部
	
	double re[col][row];    //保存DFT后的实部
	double im[col][row]; 	//保存DFT后的虚部
	Mat a = imread("1.jpg", 0);   //读取图像
public:
	void init();       //将读取的图像数据写入img中
	void dft();			//进行DFT变换
	void idft();		//进行DFT逆变换
	
	void reserve();
	void fudu();       //计算幅度值。
	void show();
};

4. init()函数

void FFT::init()
{
	int b;
	resize(a, a, Size(100, 100));   //将图像resize到（100,100）
	for (int i = 0; i < 100; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 100; j++)
		{
			b = a.at<uchar>(i, j);   //得到每一个像素值
			img[i][j] = b;
		}
	}
}

5. dft()函数

void FFT::dft()
{
	double a, b;
	for(int n=0;n<col;n++)
		for (int m = 0; m < row; m++)
		{
			a = 0.0;
			b = 0.0;
			for (int i = 0; i < col; i++)
			{
				
				for (int j = 0; j < row; j++)
				{
				//根据公式列表达式
					a += pow(-1, i + j)*img[i][j] * cos(2 * PI*(((double(n*i) / double(col))+(double((m*j))/double(row)))));
					b += pow(-1, i + j)*img[i][j] * sin(2 * PI*(((double(n*i) / double(col)) + (double((m*j)) / double(row)))));
				}
			}
			//将计算的值写入对应的变量中，这里已经进行了中心化操作
			re[n][m] = a;
			im[n][m] = -b;
		}
}

6. idft()函数

void FFT::idft()
{
	double a;
	for (int n = 0; n < col; n++)
	{
		for (int m = 0; m < row; m++)
		{
			a = 0.0;
			for (int i = 0; i < col; i++)
			{
				for (int j = 0; j < row; j++)
				{
					//这里只求其逆变换的实部，与原图片对比。
					a += re[i][j] * cos(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row)))) - im[i][j] * sin(2 * PI*((double(n*i) / double(col)) + (double(m*j) / double(row))));
				}
			}
			re[n][m] = ((1. / (10000.))*a);
		}
	}
}

7. fudu()函数

void FFT::fudu()
{
	int b;
	for(int i=0;i<col;i++)
		for (int j = 0; j < row; j++)
		{
			//计算幅度值
			b = sqrt(re[i][j] * re[i][j] + im[i][j] * im[i][j]);
			b = b / 255;    //归一化到0-255
			//写入Mat中，便于可视化
			a.at<uchar>(i, j) = b;
		}
	//显示DTF幅度场
	imshow("aa", a);
	waitKey(0);
}

8. show()函数

//显示逆变换后的图像，看看与原始图像是不是一样的。
void FFT::show()
{
	for(int i=0;i<col;i++)
		for (int j = 0; j < row; j++)
		{
			a.at<uchar>(i, j) = re[i][j];
		}
	imshow("aa", a);
	waitKey(0);
}

9. main()函数

int main(void)
{
	FFT a;
	
	a.init();
	a.dft();
	a.idft();
	a.fudu();
	//a.show();
	return 0;
}

所有的函数都实现了，下面来看看实现的效果吧！
原始图像

DFT后的振幅场

逆变换后的图像，差距有点大O(∩_∩)O。

Thank for your reading ！！！！