一、先介紹一下整除性和帶餘除法
整除性
設a、b、m均爲整數，若存在某個m使得a=mb成立，則稱非零數b整除a。換言之，若b除a沒有餘數，則認爲b整除a。b除a通常用b|a，我們說b是a的一個因子。
注：被除數÷除數=商。a除以b即a÷b。a÷b也可以說b除a。
一些簡單的整數整除性質
（1）a|1，則a=±1
（2）若a|b且b|a，則a=±b
（3）任何不等於零的數整除0
（4）若a|b且b|c，則a|c
（5）對任意整數m，n，若b|g且b|h，則可得出b|（mg+nh）
（6）若b|g，則存在g₁，使得g可以表示爲g=bg₁
若b|h，則存在h₁，使得h可以表示爲h=bh₁
所以mg+nh=mbg₁+nbh₁=b*（mg₁+nh₁），得出b整除mg+nh
（下面證明歐幾里得會用到）
帶餘除法
對給定的任意一個正整數n和任意非負整數a，若用n除a，得到整數商q和整數餘數r，則滿足以下關係式。
a=qn+r，0≤r<n；（q是小於等於a|b的最大整數）
注：對於任意給定的任意a和正數n，總可以找到滿足上述關係的q和r。在數軸上表示數時，a一定會落在軸上的某處。餘數r通常稱爲剩餘數。
二、歐幾里得算法
歐幾里得算法可以簡單的求出兩個正整數的最大公因子。
注：一個簡單的定義：兩個整數是互素的，當且僅當它們只有一個正整數公因子1。在看完下面的內容後，其實就是gcd(a,b)=1。
最大公因子
對於整數a，b，m，若滿足a=mb，則稱非零整數b是a的一個因子。我們用gcd（a，b）來表示a和b的最大公因子。a和b的最大公因子是能同時整除a和b的最大整數。另外，定義gcd（0，0）=0。
更正式的描述是，正整數c稱爲a和b的最大公因子，如果：
（1）c是a和b的因子
（2）a、b的因子都是c的因子
另一個等效的定義是：gcd(a,b)=max{k,滿足k|a且k|b}
注1：因爲要求最大公因子必須是正數，所以有gcd(a,b)=gcd(-a,-b)=gcd(-a,b)=gcd(a,-b)=gcd(|a|,|b|)
注2：因爲0可以被所有非零整數整除，所以gcd(a,0)=|a|
求最大公因子
歐幾里得算法利用了gcd(a,b)=gcd(b,r).其中a÷b=q……r。那麼，當r=0時，gcd(b,0)=|b|就求出了最大公因子。
那麼，我們先舉出兩個例子，然後再來證明，爲什麼gcd(a,b)=gcd(b,r).
例1：求9和12的最大公因子
gcd(a,b)=gcd(b,r) 9÷12=0……9 gcd(9,12)=gcd(12,9)
gcd(a,b)=gcd(b,r) 12÷9=1……3 gcd(12,9)=gcd(9,3)
gcd(a,b)=gcd(b,r) 9÷3=0……0 gcd(9,3)=gcd(3,0)
而gcd(3,0)=3 所以9和12的最大公因子是3
例2:這次我們來算大一點的數，求1314和520的最大公因子
1314÷520=2…274 gcd(1314,520)=gcd(520,274)
520÷274=1……246 gcd(520,274)=gcd(274,246)
274÷246=1……28 gcd(274,246)=gcd(246,28)
246÷28=8……22 gcd(246,28)=gcd(28,22)
28÷22=1……6 gcd(28,22)=gcd(22,6)
22÷6=3……4 gcd(22,6)=gcd(6,4)
6÷4=1……2 gcd(6,4)=gcd(4,2)
4÷2=2……0 gcd(4,2)=gcd(2,0)
而gcd(2,0)=2 所以1314和520的最大公因子是2
gcd(a,b)=gcd(b,r)的證明
1）我們要求整數a和b的最大公因子d；因爲上文我們說gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)且ab的順序並不影響,所以我們不妨設a≧b>0
2）使用帶餘除法，易得b|a可以表示爲：a=q₁b+r₁， 0≦r₁<b
3)1.若r₁=0，那麼gcd(a,b)=gcd(b,r₁)=gcd(b,0)=|b|=b
2.若r₁≠0，d|r₁（因爲d|a且d|b，所以d|a-q₁b，即d|r₁）
不妨設b和r₁的任意公因子爲c，易得c|q₁b+r₁，即c|a，又c|b，所以c是a和b的公因子，又因爲d是a和b的最大公因子，所以c≦d，所以d是b和r₁的最大公因子得證，即gcd(a,b)=gcd(b,r)
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