Karatsuba算法主要應用於兩個大數的相乘，原理是將大數分成兩段後變成較小的數位，然後做3次乘法，並附帶少量的加法操作和移位操作。
現有兩個大數，x，y。
首先將x，y分別拆開成爲兩部分，可得a，b，c，d。他們的關係如下：
x = a * 10m + b；
y = c * 10m + d。其中m爲正整數，m < n，且a，c 小於 10m。
那麼
xy = (a * 10^m + b)(c * 10^m + d)
xy = (10^m * a + b)(10^m * c + d)
xy = 10^2m * ac + 10^m * ad + 10^m * bc + bd
xy = 10^2m * ac + 10^m * (ad + bc) + bd
設:
z0 = ac
z1 = ad + bc
z2 = bd
利用(a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd 可以求得 z1
z1 = ad + bc = (a + b)(c + d) - ac - bd
最終
xy = 10^2m * ac + 10^m * ((a + b)(c + d) - ac - bd) + bd
實例展示
設x = 12345，y=6789，令m=3。那麼有：
12345 = 12 * 1000 + 345；
6789 = 6 * 1000 + 789。
下面計算：
z2 = 12 * 6 = 72；
z0 = 345 * 789 = 272205；
z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。
然後我們按照移位公式（xy = z2 * 10^(2m) + z1 * 10^(m) + z0）可得：
xy = 72 * 1000000 + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。