【DP】傳紙條

$Description$

小淵和小軒是好朋友也是同班同學，他們在一起總有談不完的話題。一次素質拓展活動中，班上同學安排做成一個$m$行$n$列的矩陣，而小淵和小軒被安排在矩陣對角線的兩端，因此，他們就無法直接交談了。幸運的是，他們可以通過傳紙條來進行交流。紙條要經由許多同學傳到對方手裏，小淵坐在矩陣的左上角，座標$(1,1)$，小軒坐在矩陣的右下角，座標$(m,n)$。從小淵傳到小軒的紙條只可以向下或者向右傳遞，從小軒傳給小淵的紙條只可以向上或者向左傳遞。

在活動進行中，小淵希望給小軒傳遞一張紙條，同時希望小軒給他回覆。班裏每個同學都可以幫他們傳遞，但只會幫他們一次，也就是說如果此人在小淵遞給小軒紙條的時候幫忙，那麼在小軒遞給小淵的時候就不會再幫忙。反之亦然。

還有一件事情需要注意，全班每個同學願意幫忙的好感度有高有低（注意：小淵和小軒的好心程度沒有定義，輸入時用$0$表示），可以用一個$0-100$的自然數來表示，數越大表示越好心。小淵和小軒希望儘可能找好心程度高的同學來幫忙傳紙條，即找到來回兩條傳遞路徑，使得這$2$條路徑上同學的好心程度之和最大。現在，請你幫助小淵和小軒找到這樣的$2$條路徑。

$Input$

輸入文件，第一行有22個用空格隔開的整數mm和nn，表示班裏有mm行nn列。

接下來的mm行是一個m \times nm×n的矩陣，矩陣中第ii行jj列的整數表示坐在第ii行jj列的學生的好心程度。每行的nn個整數之間用空格隔開。

$Output$

輸出文件共一行，包含一個整數，表示來回22條路上參與傳遞紙條的學生的好心程度之和的最大值。

$Sample Input$

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

$Sample Output$

34

說明

$30$%的數據滿足：$1 \le m,n \le 10$

$100$%的數據滿足：$1 \le m,n \le 50$

思路

因爲從$(1,1)$開始和從$(n,m)$開始沒用區別
所以直接從$(1,1)$開始向$(n,m)$找兩條路

我們從題意可得
只能向下和向右傳紙條
並且每次只能走一格
然後我們發現每一時刻
兩個橫縱座標相加相等
所以我們可以把原來四位轉換成三維
第一維是橫縱座標的和
第二維是第一次傳紙條的橫座標
第三維是第二次傳紙條的橫座標
我們有四個情況
$f(sum,i,j)=max(f(sum-1,i,j),f(sum-1,i-1,j),f(sum-1,i,j-1),f(sum-1,i-1,j-1))+A[i][k-i]+A[j][k-j]$

#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int A[55][55], F[125][55][55];
int Sum, n, m;
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1 ;i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			scanf("%d" ,&A[i][j]);
	memset(F, -1, sizeof(F));//判爲爲經過
	F[2][1][1] = 0;//小淵的好感度爲0
	for(int k = 3 ;k < n + m; k++)
	{
		for(int i = 1 ;i < n; i++)
		{
			for(int j = i + 1 ;j <= n; j++)
			{
				Sum = F[k][i][j];
				Sum = max(Sum ,F[k - 1][i - 1][j - 1]);
				Sum = max(Sum ,F[k - 1][i][j - 1]);
				Sum = max(Sum ,F[k - 1][i - 1][j]);
				Sum = max(Sum ,F[k - 1][i][j]);
				if(Sum == -1) continue;//如果沒有到過
				F[k][i][j] = Sum + A[i][k - i] + A[j][k - j];
			}
		}
	}
	printf("%d", F[n + m - 1][n - 1][n]);//因爲i總是小於j，所以(n,m)是不可能的
	//但是因爲(n,m)的好感爲0，所以可以選擇(n-1,m)或(n,m-1)
	return 0;
}