數據結構之圖-割點與橋

割點是無向圖中去掉後能把圖割開的點。dfs時用dfn（u）記錄u的訪問時間，用low（u）數組記錄u和u的子孫能追溯到的最早的節點（dfn值最小）。由於無向圖的dfs只有回邊和樹邊，且以第一次dfs時的方向作爲邊的方向，故有：
low=min{
dfn（u），
dfn（v），若（u，v）爲回邊（非樹邊的逆邊）
low（v），若（u，v）爲樹邊
}

頂點u是割點當且僅當其滿足（1）或者（2）：
（1） 若u是樹根，且u的孩子數sons>1。因爲沒有u後，以這些孩子爲根的子樹間互相就不連通了，所以去掉u後得到sons個分支。
（2） 若u不是樹根，且存在樹邊（u，v）使 low（v）>=dfn（u）。low值說明以v爲根的子樹不能到達u的祖先也就是去掉u後不能和原圖聯通，所以得到{這樣的v的個數+1}個分支。

這個題是求無向圖（不一定聯通）中，去掉一個頂點可以形成的最多的分支數，對所有分支tarjan一下就知道了去掉哪個多了，注意孤立點的情況。求low時其實不用判斷樹邊的逆邊的情況，仔細琢磨一下，對結果沒有影響，又能省很多代碼。

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何爲割點？也就是題目中的關鍵點。在一個無向圖中，去掉一個點，這個無向圖會變成多個子圖，那麼這個點就叫做割點

同理，割邊也是如此，如果去掉一條邊，能讓無向圖變成多個子圖，那麼這條邊叫做割邊，所謂的橋。

 

那麼tarjan是如何求的割點的呢？

如果u爲割點，當且僅當滿足下面的1/2

1、如果u爲樹根，那麼u必須有多於1棵子樹

2、如果u不爲樹根，那麼（u,v）爲樹枝邊，當Low[v]>=DFN[u]時。

 

割點的求法倒是看明白了，條件1的意思是若爲根，下面如果只有一顆子樹，也就是整個圖是強連通，那麼去掉根節點，肯定不會變成多個子圖，因此也不會成爲割點。只有大於一顆子樹，去掉根節點，纔會有兩個或者2個以上的子圖，從而才能成爲割點

 

條件2也比較好理解，u不爲樹根，那麼u肯定有祖先，如果存在Low【v】>=DFN【u】時，表示u的子孫只能通過u才能訪問u的祖先，這也就是說，不通過u，u的子孫無法訪問u的祖先，那麼如果去掉u這個節點，就會至少分爲兩個子圖，一個是u祖先，一個是u子孫的。

 

但是還是不明白tarjan爲何在求Low數組時一個是Min(Low[u], Low[i]); 一個是Min(Low[u], DFN[i]);在上一篇求強連通分量時，如果將Min(Low[u], DFN[i]);也改爲Min(Low[u], Low[i]);照樣能求出強連通分量，但是如果在求割點的時候改，就會WA。還是想諮詢大牛，這個細微的差別到底爲什麼，到現在還是不懂？看來圖論這一塊還是沒喫透，喫不透，代碼就得背，背代碼沒意思，理解了，怎麼寫都可以。求神人給出解釋哈，謝謝！

 

代碼

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define nMax 110
#define Min(a,b) (a<b?a:b)
#define Max(a,b) (a>b?a:b)
int map[nMax][nMax];
int DFN[nMax],Low[nMax];
bool isVisted[nMax];
int gPoint[nMax];
int index, root;
int n,ans;
void tarjan(int u)
{
    DFN[u] = Low[u] = ++index;
    isVisted[u] = true;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        if (map[u][i])
        {
            if (!isVisted[i])
            {
                tarjan(i);
                Low[u] = Min(Low[u], Low[i]);
                if (Low[i] >= DFN[u] && u != 1)//if it is not root
                {
                    gPoint[u] ++;
                }
                else if (u == 1)//if it is root
                {
                    root ++;
                }
            }
            else
            {
                Low[u] = Min(Low[u], DFN[i]);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    while (scanf("%d", &n) && n)
    {
        int u, v;
        memset(map, 0, sizeof(map));
        memset(isVisted, false, sizeof(isVisted));
        memset(gPoint, 0, sizeof(gPoint));
        ans = root = index = 0;
        while (scanf("%d", &u) && u)
        {
            while (getchar() != '\n')
            {
                scanf("%d", &v);
                map[u][v] = 1;
                map[v][u] = 1;
            }
        }
        tarjan(1);
        if (root > 1)
        {
            ans ++;
        }
        for (int i = 2; i <= n; ++ i)
        {
            if (gPoint[i])
            {
                ans ++;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}