例，01问题
求长度为n的01串，满足如下条件
1，长为L0的连续子串中0的个数不少A0，不多于B0
2，长为L1的连续子串中的1的个数不少于A1，不多于B1
如果不存在，输出-1
这个题可以构造图，然后求图的各点的最短路径。
由于上述1，2条件的存在，对于任意的k，用f（k）表示前k串的和
则f（k+L0）-f（k）>=L0-b0
f（k+L0）-f（k）<=L0-a0
f（k+L1）-f（k）>=a1
f（k+L1）-f（k）<=b1
f（k+1）-f（k）>=0
f（k+1）-f（k）<=1
根据<=的关系可以构造一个图，图中的各个节点就是从1到n，关系如上不等式。相当于求n个点到点0的最短距离。而相邻的两个点与0点之间的距离就是我们要求的该位置的0或者1
由于该算法中权值存在负值，所以用bellman松弛法求单源最短路径
源代码如下
bellman_ford算法
BELLMAN_FORD(G,w,s)
Init-single-source(G,s)
for i<-1 to |V[G]|-1
do for each edge(u,v) in E[G]
do relax(u,v,w)
for each edge(u,v) in E[G]
do if d[v]>d[u]+w(u,v)
then return FALSE
return TRUE
松弛法
Relax(u,v,w)
if d[v]>d[u]+w(u,v)
then d[v]<-d[u]+w(u,v)
trace[v]<-u;
同时复习一下Dijkstra算法
Dijkstra(G,w,s)
Init-single-source(G,s)
S=null;
Q=V[G];
while Q！=null
do u=min(Q)
S=S+{u}
for each vertex v in Adj[u]
do Relax (u,v,w)
附一个Dijkstra算法的实现
for(int i=1;i<=pointNum;i++)
{
min=MaxInt;
for(int j=i+1;j<=pointNum;j++)
{
if(!isVisited[j])
{
if(d[1][j]<min)
{
minPoint=j;
min=d[1][j];
}
}
}
isVisited=true;
for(int j=1;j<=pointNum;j++)
{
if(d[pointNum][j]+min<d[1][j])
d[1][j]=d[pointNum][j]+min;
}
}
2，二分图
求二分图的最大匹配有两种算法：最大流，匈牙利算法
求二分图的最佳匹配：最大流。
最大流的算法基于以下的思想：残留网络，增广路径，最小割。
求最大流的算法过程：1，随意找一个源点到终点的增广路径。2，求该网络的残留网络。3，在残留网络上找增广路径，将增广路径上可通过的最大值加到该路径上的图的流上。4重复2，3直到没有新的增广路径。找增广路径的时候用广度优先算法可以增加算法的效率。
对二分图求最大最优匹配的时候，只用额外的加一个源点和终点即可。
求最大匹配最好还是用匈牙利算法。
以下用匈牙利算法来求解，国王心爱的王子选妻子的题目:国王有n个儿子，宫里有n个美女。每个王子喜欢一些姑娘（艹），国王对每个儿子的喜欢程度不同为Ai，如果王子挑选到了喜欢的姑娘，国王的高兴程度+Ai^2。找一个算法，让国王足够满意。
关于二分图的另一个说明：完全二分图的边的数目小于n^2/4，证明很简单，省略。
在下面的程序中，王子为1~n，女孩为n+1~2n，边的数目正好为n^2，所以开了n^2条边。
关于二分图题目2
求二分图中的必须的边
算法有两种：1，枚举所有的边，然后用匈牙利算法求最大匹配，如果找不到最大匹配，则是必须的
这种算法的情况下，如果是邻接矩阵的话，枚举每条边需要的时间是O（n^2）,当然也可以存边，存边的话O(e),匈牙利算法的复杂度为O（EN）
2，缩小查找空间，必须的边一定在一个完备匹配中，因为必须的边在所有的完备匹配中，如果少了这个边，一个完备匹配都找不到，所以可以先找一个完备匹配，然后剔除其中的边，用匈牙利算法验证。这样的话，将边的范围减小了。
代码如下
3, 线段树的应用
问题：树的统计。一棵含有n个节点的树，所有节点的编号依次为1，2，3，...，n。对于编号为v的节点，定义t（v）为后代中所有编号小于v的节点个数。请计算每个节点i的t(i）。
用到的数据结构，树，线段树。算法dfs
不妨先思考这样一个方法：假如这是一颗二叉树。我们将这棵二叉树保存在数组里面。从数组最末开始，向前扫描（本质是从叶子节点开始）。对于每一个节点，和父节点n/2比较，如果比这个父节点小，父节点的t值+1，然后父节点的父节点。算法复杂度为（nlogn）当然二叉树比较好的情况的时候。不好的时候复杂度就要高，最坏n^2。
对于这棵树，不方便用二叉树来做。
本题的算法很有意思。它是这样做的，先对树做一次正向dfs先序遍历，得到遍历序列，然后反向dfs先序，得到一个遍历序列，而，两个遍历序列重叠的部分，正好是树根的子节点。那么
t=正向dfs中小于v的节点数量+逆向中的+祖先中小于v的-整棵树小于v的（整棵树小于v的为v-1个）
该算法对线段树进行了灵活的应用，值得学习。一下是代码和测试用例
测试用例
15
0
0
2 12 15
0
0
2 5 8
5 1 3 4 9 10
0
2 6 11
1 14
0
0
0
2 2 13
0
运行结果0 0 0 0 0 1 6 0 3 1 0 0 0 2 0
4,多源点最短路径问题
考虑对远点进行合并，然后使用dijkstra算法，记住压缩图和原图之间点序号的映射
5, 闭包运算的题目
如何计算闭包，实际上就是floyd算法的思想。
两种方法
1，采用宽度优先或者深度优先遍历来解决。从任意一个顶点出发，进行一次遍历，就可以求出次顶点和其他各个顶点的联通状况。所以只需要把每个顶点做为出发点遍历一次，就能够知道任意两个顶点之间是否有路存在。穷举每个顶点，总的时间复杂度是O（n*n）
2,类似floyd算法，如下算法实现的那样。
题目：运动员之间可以传递信息，但不是每两个运动员之间都可以相互传递信息。求教练至少要通知几个人才可以使每个运动员都知道自己的命令。
算法，先计算闭包，给每个闭包赋予一个序号。
然后按照序号将图压缩，一个传递闭包一个节点。
统计入度为0的节点的个数，即为教练需要通知的次数
floyd算法又称floyd-warshall算法，是一种动态规划算法，用来求一个有向图G中每对顶点间的最短路径问题，其运行时间为O（v^3）
定义n*n的矩阵W。过程范围最短路径的权值矩阵为D(n)
Floyd-Warshall(W)
n<-rows(W)
D(0) <-W
for(k=1~n)
do for i=1~n
do for k=1~n
do d(k)ij =min(d(k-1)ij , d(k-1)ik +d(k-1)kj )
return D(n)
6, 使用floyd算法的例子。
染色
一个N个点的无向完全图，每条边都被染成[1,m]的一种颜色，要求选择一部分颜色，作为一个集合S，且S中的元素个数不超过(m+1)/2，并满足如下性质：
图中任意两个点a和b，一定存在一条长度不大于3的通路，其每条边的颜色都属于S。
简单的分析：
将m种颜色一分为2，然后证明必有一半的颜色满足。
使用然后，设A集合边为1，B集合的边的权重为4。使用floyd算法，求两点之间的最短距离。如果超过了3，则结果为B集合，否则为A集合。
代码如下
7,二叉树的应用
坐船问题：某学校有n个学生去公园划船。一条船最多可以坐两个人。如果某两个学生同姓或者同名就可以坐同一条船。学校希望每个学生都上船，但是小船的租用费用很高。学校想要租最少的船。请问学校要租多少条船。
用二叉树来解决。左孩子同姓，右孩子同名。在选择将谁放在一条船上的时候有以下几种情况
1，如果父节点已经被其他节点使用了，则增加一条船。
2，如果父节点没有被使用，并且父节点的另一个节点已经被使用，则当前节点和父节点一条船
3，如果非1，2情况。若父节点是父父节点的左孩子，则父节点和右孩子被访问，左孩子连接到父父节点
4，若父节点是右孩子，则右孩子连接到父父节点
代码如下