【剑指offer】刷题：剪绳子问题

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入描述:

输入一个数n，意义见题面。（2 <= n <= 60）

输出描述:

输出答案。

示例1

输入

8

输出

18

解题方法1：贪心算法

• 当 number < 4时，最大乘积为 number-1，具体如下：

               number = 1:    最大乘积为 0

               number = 2:    最大乘积为1*1 = 1

               number = 3:    最大乘积为2*1 = 2

• 当number = 4 时，最大乘积为number具体如下：  

               number = 4:    最大乘积为2*2 = 4

• 当number>4时，即 number >= 5时，2 (n-2) > n, 3 (n-3) > n，即：将绳子剪成 2 和 (n-2) 或者 3(n-3)时，乘积大于不剪的乘积，因此需要把绳子剪成 2 或者 3。并且 3(n-3) >= 2(n-2)，也就是说，当 n >= 5时，应该剪尽量多的3，可以使最后的乘积最大。

        对于长度为 number 的绳子，如果减掉 m 段后，最后剩下的一段绳子长度为 4 ，那我们不再裁剪出3，因为裁剪出两个2得到的乘积是4，比1*3大。

以贪心策略编写代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def cutRope(self, number):
        if number < 4:
            return number - 1
        if number == 4:
            return 4

        ret = 1
        while number > 4:
            ret *= 3
            number = number - 3

        ret = ret * number
        return ret

解题方法2：贪心算法

长度为 n 的绳子，剪出的子绳子长度之积最大值为Max[n]

假设先剪出的一段长度为 i 的子绳子，那么  Max[n] 就等于 i * Max[n-i]，所以问题就可以用动态规划的思路解决。

当 n = 2 时，Max[n]  = 1;

当 n = 3 时，Max[n] = 2;

当 n > 3 时，Max[n] = i * Max[n-i]; 其中 i 的范围是 [1, n-1]

以动态规划算法编写代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def cutRope(self,number):
        MaxMulti = [0, 1, 1, 2] + [0] * (number -3)
        
        if number < 4:
            return MaxMulti[number]

        for i in range(2, number + 1):
            curMax = i
            for j in range(1, i):
                curMax = max(j * MaxMulti[i-j], curMax)
            MaxMulti[i] = curMax
        return MaxMulti[number]

 

参考：

https://blog.csdn.net/weixin_43955099/article/details/106094258

https://blog.csdn.net/weixin_46132790/article/details/106402609