最短路（Dijstra算法）

一，問題基本概念：

最短路問題：若網絡中的每條邊都有一個數值（長度，時間，成本等），則找出兩點（通常是源節點和阱節點）之間總權和最小的路徑就是最短路問題。

單源最短路：可以採用Dijkstra算法（但是隻可以求無負權的最短路徑），時間複雜度爲O(|V|^2），如果圖中又負權賄賂，可以採用Bellman-Ford算法（但是它回浪費許多時間做不必要的鬆弛），算法複雜度爲O(|V||E|)，還可以用SPFA算法進行優化（使用隊列進行的優化），時間複雜度爲O(k|E|)。

二，各種算法：Dijstra算法：

基本思路：1），參數與返回值：dij算法是單元最短路所以我們需要告訴dij函數你的源點（s）是哪一個結點，然後函數執行完後dis數組中存放的就是s到圖中所有結點的最短距離，如果不連通的話會返回極大值。

                  2），初始化：在初始化過程中我們要定義vis數組--用來記錄已經訪問過的結點，並且清零。然後給dis數組賦初值INF（S點爲0），表示初始情況下源點到除自己之外的所有點都爲無窮大。

                   3），算法主體：我們執行n次循環，每次從dis數組中選出一個值最小的結點標記，並且標記此節點，對這個結點所連接的每一條邊進行鬆弛

                   if(mindis+Map[min][j]<dis[j]&&Map[min][j]!=INF&&vis[j]==0)

                            dis[j]=mindis+Map[min][j];

三，過程：

每次選擇一個未訪問過的到已經訪問過（標記爲Known）的所有點的集合的最短邊，並用這個點進行更新，過程下：

Dv爲最短路，而Pv爲前面的頂點。

1.     初始

V	Known	Dv	Pv
V1	F	0	0
V2	F	∞	0
V3	F	∞	0
V4	F	∞	0
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

2.     在v1被標記爲已知後的表

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	∞	0
V4	F	1	V1
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

3.     下一步選取v4並且標記爲known，頂點v3,v5,v6,v7是鄰接的頂點，而他們實際上都需要調整。如表所示:

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

4.     接下來選取v2,v4是鄰接點，但已經是known的，不需要調整，v5是鄰接的點但不做調整，因爲經過v2的值爲2+10=12而長爲3的路徑已經是已知的。

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

5.     接下來選取v5，值爲3，v7 3+6>5不需調整，然後選取v3，對v6的距離下調到3+5=8

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	8	V3
V7	F	5	V4

6.     再選下一個頂點是v7，v6變爲5+1=6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	6	V7
V7	T	5	V4

7.     最後選取v6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	T	6	V7
V7	T

四，算法所有代碼：

1 /****************************************
 2      Dijkstra O(n^2) 單元最短路算法
 3      鄰接矩陣        
 4                  
 5 *****************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <string.h>
 9 #define INF 0x3f3f3f3f
10 #define LEN 1010
11 using namespace std;
12 
13 int Map[LEN][LEN], dis[LEN], n, m;
14 
15 void Dijkstra(int s)
16 {
17     int vis[LEN] = {0};
18     for(int i=1; i<=n; i++)
19         dis[i] = INF;//初始化爲最大值
20     dis[s] = 0;
21     for(int i=0; i<n ;i++)
22     {
23         int min, mindis = INF;
24         for(int j=1; j<=n; j++)
25             if(dis[j]<mindis && vis[j] == 0)//如果它的距離小於INF，並且該點沒有被遍歷過
26             {
27                 mindis = dis[j];
28                 min = j;//權值與最大值比較，若比他小，則進行賦值，並記錄下該點
29             }
30         vis[min] = 1;
31         for(int j=1; j<=n; j++)
32             if(mindis+Map[min][j]<dis[j] && Map[min][j]!=INF && vis[j]==0)//進行鬆弛操作
33                 dis[j] = mindis+Map[min][j];
34     }
35 }
36 
37 
38 int main()
39 {
40 //    freopen("in.txt", "r", stdin);
41     return 0;
42 }