算法導論（九）--二叉樹

二叉搜索樹

（BST，Binary Search Tree，也叫二叉排序樹，Binary Sort Tree）

BST Sort

二叉搜索樹的定義就不講了。我們看看BST Sort，如何利用二叉樹進行排序？答案是隻要把數組構建出一棵二叉搜索樹，然後中序遍歷就行了。
構建二叉搜索樹的算法：

T<-Ø
for i<-i to n
	do Tree_Insert_Walk(T,A[i])
InOrder-Tree(T->root)

舉例：
數組A={3,1,8,2,6,7,5}，構造二叉搜索樹，然後中序遍歷依次打印出來。

分析這個算法的複雜度。遍歷需要O(n)。

如果構造的是下面這樣的完全平衡的二叉樹，那麼n次插入需要Ω(nlog)，因爲每次插入都需要查找，所有節點的深度加起來就是總的查詢時間，看最底層有n/2個節點，每個節點的深度都是logn，所以是至少是O(nlogn)。

如果數組已經是有序的了，那麼就會構造出下面這樣的樹，總的花費時間還是樹中每個節點深度的總和，就是1+2+3+…，等差級數，就是Θ(n²)。

與快排的關係

簡單快排
這個算法跟快排很類似，它們其實做的是相同的比較，只是比較的順序不一樣。對數組A={3,1,8,2,6,7,5}做最簡單的快排，先不改變兩邊元素的順序，過程如下圖所示：

我們通過劃分得到的樹與上面得到的二叉搜索樹其實就是同一棵樹。

Randomized BST Sort
如果是隨機的二叉搜索樹，就和隨機的快排是一樣的了。
首先隨機打亂數組的序列，然後調用BST排序。
然後隨機化的快排和隨機化的BST做的就是相同的比較了，所以它們的複雜度是一樣的，都是nlogn。

一棵隨機化的二叉搜索樹，高度的期望值是logn。

平衡搜索樹

平衡搜索樹（Balanced Search Tree）是這樣的一種數據結構，它維護一個n個元素的動態集，複雜度是logn階的，所以樹高爲O(logn)。平衡搜索樹不一定是二叉樹。

平衡搜索樹主要有以下幾種：

• AVL樹（二叉的）
• 2-3樹
• 2-3-4樹
• B樹
• 紅黑樹（二叉的）
• 跳躍表（不是樹，但多少有一些樹的結構）
• 樹堆

這裏主要講紅黑樹。

紅黑樹

性質

紅黑樹是一種平衡搜索樹，它能保證樹高是logn級的，所有的操作都能在logn的時間完成。紅黑樹也是二叉搜索樹的一種。紅黑樹每個節點都有一個色域，滿足紅黑性，有4個性質：

1. 每個節點要麼是紅色，要麼是黑色
2. 根節點和葉節點（nil）都是黑色的。葉節點是最後的內部節點的空指針，這樣每個內部節點都有兩個子節點，每個葉子節點有0個子節點。
   
3. 每個紅色節點的父節點都是黑色的。也就是說，如果觀察樹的任意路徑，不可能找到兩個連續的紅色節點，只能找到紅黑相間的或者是幾個連續的黑節點，也可以得出，最多隻有一半的節點是紅色的。
   
4. 如果選擇一條簡單路徑（不重複任何節點），從一個節點x一直到x的子孫葉節點，所有到各子孫葉節點的路徑都有相等的黑節點數。也就是所有路徑的“黑高度”都是相等的。計算“黑高度”時不包括x本身。
   

舉例：
看看下面這棵紅黑樹每個節點的黑高度是多少。所有的葉節點黑高度都是0，其它節點的黑高度都標在圖上了。

創建一棵紅黑樹並不難，最簡單的可以一開始創建一個所有節點都是黑色的平衡二叉樹。問題當插入和刪除之後如何保持紅黑性。

首先要證明這些性質能推導出樹高爲O(logn)的結論。

定理：有n個鍵的紅黑樹的高度h≤2log(n+1)，也就是O(logn)。（只計算內部節點）

證明：
首先要將樹做一個改造，把每個紅節點跟它的父節點合併起來，變成下面這個圖：

每個內部節點都有2～4個子節點，並且每個葉節點的深度一致，都等於根節點的黑高度。

假設原樹的高度是h，改造後的樹高度是h’，鍵數爲n。
那麼這棵樹有n+1個葉節點（一棵平衡二叉樹的葉節點樹等於內部節點數+1），一棵2-3-4樹的葉節點數 2^h’≤ #leaves ≤4^h’，因此 2^h’ ≤ n+1，h’ ≤ log(n+1)，葉節點數越多，高度會降低。
之前我們知道，一條路徑上的紅節點數最多是路徑長的一半，所有路徑裏最長的就是樹的高度，所以h’至少是h的一半，h’ ≥ 1/2·h，即h ≤ 2h’，因此h≤2log(n+1)。

紅黑樹上的操作

對於查詢：
只要紅黑樹的樹高是O(logn)，那麼紅黑樹的查詢時間就是O(logn)。
對於插入和刪除：
爲了保持樹的紅黑性，有三種操作：

1. BST操作
2. 改變新節點顏色，並且爲周邊的節點重新着色
3. 節點重新排列，改變指針（via rotations）

Rotation：
下圖畫的是樹的一部分，三角形表示子樹，圓形表示節點。

下面這個例子，從左往右是右旋B，右旋就是把節點A和B之間的這條邊旋轉90度，B的父節點變成了A的父節點，A變成B的新的父節點，子樹也重新排序，α還是A的子樹，γ還是B的子樹，而β由A的子樹變成了B的子樹。
同理，從右往左就是左旋A。

這個操作保持了二叉搜索樹的性質，即節點左子樹的值都小於等於該節點，右子樹的值都大於等於該節點。

旋轉操作只花費常數級的時間，因爲指針的改變是常數級的。

RB_Insert(X)
在紅黑樹中插入一個節點X。
基本思路：

• 在BST中插入一個節點X，Tree_Insert(X)
• 給這個節點定爲紅色。這樣可以滿足性質4，但如果它的父節點是紅色，就不滿足性質3 。
• 如何彌補性質3？把對性質3的破壞往上移。從節點X開始往根節點重新着色，直到某個點再改用旋轉來彌補，可能還需要重新着色。

舉例：
還是對上面的紅黑樹，插入15 。15應該在11度右節點的位置。如下圖所示：

但違反了性質3，現在從根節點到葉的一條路徑上出現了兩個連續的紅節點。於是需要重新着色。如下圖所示，節點10變成紅色，8和11變成黑色。如下圖：

現在，10和18不滿足性質3了。不能再重新着色了，不能讓3變紅，7變黑，因爲根節點必須是黑色。因此我們進行旋轉。把18右旋轉，如下圖：

現在這棵樹不平衡了，還需要旋轉。左旋7，10變爲根節點。根節點必須是黑色，所以10變成黑色，7要變成紅色，如下圖：