算法导论（九）--二叉树

二叉搜索树

（BST，Binary Search Tree，也叫二叉排序树，Binary Sort Tree）

BST Sort

二叉搜索树的定义就不讲了。我们看看BST Sort，如何利用二叉树进行排序？答案是只要把数组构建出一棵二叉搜索树，然后中序遍历就行了。
构建二叉搜索树的算法：

T<-Ø
for i<-i to n
	do Tree_Insert_Walk(T,A[i])
InOrder-Tree(T->root)

举例：
数组A={3,1,8,2,6,7,5}，构造二叉搜索树，然后中序遍历依次打印出来。

分析这个算法的复杂度。遍历需要O(n)。

如果构造的是下面这样的完全平衡的二叉树，那么n次插入需要Ω(nlog)，因为每次插入都需要查找，所有节点的深度加起来就是总的查询时间，看最底层有n/2个节点，每个节点的深度都是logn，所以是至少是O(nlogn)。

如果数组已经是有序的了，那么就会构造出下面这样的树，总的花费时间还是树中每个节点深度的总和，就是1+2+3+…，等差级数，就是Θ(n²)。

与快排的关系

简单快排
这个算法跟快排很类似，它们其实做的是相同的比较，只是比较的顺序不一样。对数组A={3,1,8,2,6,7,5}做最简单的快排，先不改变两边元素的顺序，过程如下图所示：

我们通过划分得到的树与上面得到的二叉搜索树其实就是同一棵树。

Randomized BST Sort
如果是随机的二叉搜索树，就和随机的快排是一样的了。
首先随机打乱数组的序列，然后调用BST排序。
然后随机化的快排和随机化的BST做的就是相同的比较了，所以它们的复杂度是一样的，都是nlogn。

一棵随机化的二叉搜索树，高度的期望值是logn。

平衡搜索树

平衡搜索树（Balanced Search Tree）是这样的一种数据结构，它维护一个n个元素的动态集，复杂度是logn阶的，所以树高为O(logn)。平衡搜索树不一定是二叉树。

平衡搜索树主要有以下几种：

• AVL树（二叉的）
• 2-3树
• 2-3-4树
• B树
• 红黑树（二叉的）
• 跳跃表（不是树，但多少有一些树的结构）
• 树堆

这里主要讲红黑树。

红黑树

性质

红黑树是一种平衡搜索树，它能保证树高是logn级的，所有的操作都能在logn的时间完成。红黑树也是二叉搜索树的一种。红黑树每个节点都有一个色域，满足红黑性，有4个性质：

1. 每个节点要么是红色，要么是黑色
2. 根节点和叶节点（nil）都是黑色的。叶节点是最后的内部节点的空指针，这样每个内部节点都有两个子节点，每个叶子节点有0个子节点。
   
3. 每个红色节点的父节点都是黑色的。也就是说，如果观察树的任意路径，不可能找到两个连续的红色节点，只能找到红黑相间的或者是几个连续的黑节点，也可以得出，最多只有一半的节点是红色的。
   
4. 如果选择一条简单路径（不重复任何节点），从一个节点x一直到x的子孙叶节点，所有到各子孙叶节点的路径都有相等的黑节点数。也就是所有路径的“黑高度”都是相等的。计算“黑高度”时不包括x本身。
   

举例：
看看下面这棵红黑树每个节点的黑高度是多少。所有的叶节点黑高度都是0，其它节点的黑高度都标在图上了。

创建一棵红黑树并不难，最简单的可以一开始创建一个所有节点都是黑色的平衡二叉树。问题当插入和删除之后如何保持红黑性。

首先要证明这些性质能推导出树高为O(logn)的结论。

定理：有n个键的红黑树的高度h≤2log(n+1)，也就是O(logn)。（只计算内部节点）

证明：
首先要将树做一个改造，把每个红节点跟它的父节点合并起来，变成下面这个图：

每个内部节点都有2～4个子节点，并且每个叶节点的深度一致，都等于根节点的黑高度。

假设原树的高度是h，改造后的树高度是h’，键数为n。
那么这棵树有n+1个叶节点（一棵平衡二叉树的叶节点树等于内部节点数+1），一棵2-3-4树的叶节点数 2^h’≤ #leaves ≤4^h’，因此 2^h’ ≤ n+1，h’ ≤ log(n+1)，叶节点数越多，高度会降低。
之前我们知道，一条路径上的红节点数最多是路径长的一半，所有路径里最长的就是树的高度，所以h’至少是h的一半，h’ ≥ 1/2·h，即h ≤ 2h’，因此h≤2log(n+1)。

红黑树上的操作

对于查询：
只要红黑树的树高是O(logn)，那么红黑树的查询时间就是O(logn)。
对于插入和删除：
为了保持树的红黑性，有三种操作：

1. BST操作
2. 改变新节点颜色，并且为周边的节点重新着色
3. 节点重新排列，改变指针（via rotations）

Rotation：
下图画的是树的一部分，三角形表示子树，圆形表示节点。

下面这个例子，从左往右是右旋B，右旋就是把节点A和B之间的这条边旋转90度，B的父节点变成了A的父节点，A变成B的新的父节点，子树也重新排序，α还是A的子树，γ还是B的子树，而β由A的子树变成了B的子树。
同理，从右往左就是左旋A。

这个操作保持了二叉搜索树的性质，即节点左子树的值都小于等于该节点，右子树的值都大于等于该节点。

旋转操作只花费常数级的时间，因为指针的改变是常数级的。

RB_Insert(X)
在红黑树中插入一个节点X。
基本思路：

• 在BST中插入一个节点X，Tree_Insert(X)
• 给这个节点定为红色。这样可以满足性质4，但如果它的父节点是红色，就不满足性质3 。
• 如何弥补性质3？把对性质3的破坏往上移。从节点X开始往根节点重新着色，直到某个点再改用旋转来弥补，可能还需要重新着色。

举例：
还是对上面的红黑树，插入15 。15应该在11度右节点的位置。如下图所示：

但违反了性质3，现在从根节点到叶的一条路径上出现了两个连续的红节点。于是需要重新着色。如下图所示，节点10变成红色，8和11变成黑色。如下图：

现在，10和18不满足性质3了。不能再重新着色了，不能让3变红，7变黑，因为根节点必须是黑色。因此我们进行旋转。把18右旋转，如下图：

现在这棵树不平衡了，还需要旋转。左旋7，10变为根节点。根节点必须是黑色，所以10变成黑色，7要变成红色，如下图：