[數學/數論] 普通求逆

網上的求逆方法普遍長這樣

a[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) a[i]=(mod-(mod/i))%mod*a[mod%i]%mod;

下面介紹一種簡單且萬能的

pr[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) pr[i]=pr[i-1]i%mod;
b[n]=qpow(pr[n],mod-2);
for(int i=n-1;i;–i) b[i]=b[i+1](i+1)%mod;
b[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) b[i]=b[i]*pr[i-1]%mod;

講解開始

逆元的定義

在$\pmod p$意義下，$i\times i^{-1}\equiv1$，則$i$與$i^{-1}$互爲逆元

使用逆元的意義：爲了保證精度，維護整數問題（即數論問題）的過程中，不能除，於是利用與原數積在模意義下爲1的數，來替代除法

$a_n=n$的逆元求法

常用，但是常數有點大

推導：
$\begin{aligned} &模p意義下,求i的逆元\\ &p=ki+r\quad(k=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,r=p\bmod i)\\ &ki+r\equiv 0\pmod p\\ &i^{-1}r^{-1}(ki+r)\equiv 0\pmod p\\ &i^{-1}+kr^{-1}\equiv 0\pmod p\\ &i^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p\\ &由於r=p\bmod i,則r<i,求i時r已求出,可以遞歸求解\\ &邊界1^{-1}=1 \end{aligned}$

Code

a[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) a[i]=(mod-(mod/i))%mod*a[mod%i]%mod;

任意數列的逆元求法

常數又小，適用範圍又廣
不學他學誰？

推導
$\begin{aligned} &對於\{a_n\}(通常是a_n=n的數列),記pr_i=\prod_{j=1}^ia_j,\\ &第一遍,inv_n=pr_n^{p-2}(即pr_n的逆元)\equiv\frac{1}{\prod_{i=1}^na_i}\\ &inv_i=inv_{i+1}\times a_{i+1},遞推下去\\ &第二遍,inv_i=inv_i\times pr_{i-1} \\\\&時間複雜度O(N) \end{aligned}$

Code

pr[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) pr[i]=pr[i-1]*i%mod;
b[n]=qpow(pr[n],mod-2);
for(int i=n-1;i;--i) b[i]=b[i+1]*(i+1)%mod;
b[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) b[i]=b[i]*pr[i-1]%mod;

Tips

1. 注意邊界：
   法一中inv[1]要賦初值
   法二中最後一層循環由於pr[0]=0，無法更新inv[1]，那麼手動賦1
2. 注意求逆元的範圍
   想清楚就行了