[组合数学] T3 卡特兰数

T3 / 卡特兰数

学习一下卡特兰数

卡特兰数实际上就是一大类问题划归得到的一个结论
其通式：
$H_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}\ (n\geq 2,n\in N^*)$
递推式：
$H_n=\left\{ \begin{aligned} &1&&n=0,1\\ &\sum_{i=0}^{n-1}H_{i}H_{n-i-1} &&n\geq 2,n\in N_+\\ \end{aligned} \right.$
下式还可写作$\sum_{i=1}^nH_{i-1}H_{n-i}$，总之两下标和为$n-1$的两数卷起来

数列前几项：
$H_n=1,1,2,5,14,42,\cdots$

两式互相转化不易证，咕

一些例子

非降路径计数

求从原点走到在平面直角座标系上的$y=x$直线上的整点的方案数，且只能向上或向右走

打表发现数列符合$1,1,2,5,\cdots$，于是卡特兰

栈

入栈顺序由1到n，求所有可能的出栈顺序的总数

法一：打表观察，发现数列符合$1,1,2,5,\cdots$
法二：考虑$n$入栈的时机，前$n-1$个数出栈$i,i\in [0,n-1]$个后进入，那么已出栈数列的方案数为$a_i$，加入$n$后数列的出栈方案数为$a_{n-i-1}$，由于前$n-1$个数随意组合，考虑乘法原理：
$a_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_{i}a_{n-i-1}$
故为卡特兰数列

二叉树计数

求有$n$个节点的（无标号）二叉树的种数

对于有$n$个节点的（无标号）二叉树，考虑一个根节点，左儿子有$i,i\in[0,n-1]$个节点，右儿子则有$n-i-1$个节点，考虑乘法原理：
$S_n=\sum_{i=0}^{n-1}S_iS_{n-i-1}$
故为卡特兰数列

T3 概率论

对于一棵随机生成的$n$个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?

考虑树个数，由上文知为卡特兰数列，树个数记为$f_i$
记树叶子节点数为$g_i$

考虑$n$个结点的二叉树的得到：由$n-1$个结点的二叉树加上一个叶子节点得来
不同的$n-1$二叉树上加的叶子节点是不一样的，如：

所以$g_i=nf_{i-1}$

于是期望：
$\begin{aligned} E&=\frac{g_i}{f_i}\\ &=\frac{nf_{i-1}}{f_i}\\ &=\frac{n\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{n}}{\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}}\\ &=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)} \end{aligned}$

Prod概率论

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	double n;
	scanf("%lf",&n);
	n=n*(n+1)/(2*(2*n-1));
	printf("%.9lf",n);
	return 0;
}