大物知識點複習框架——振動

簡諧振動方程與特徵量

1. 振動方程：$x=Acos(wt+\phi_0)$

2. 特徵量：
   (1) $A$：最大振幅
   (2) $w$：圓頻率、角頻率，$2\pi$秒內所作的完全振動次數 (單位rad/s)
   (3) $T$：週期，經過一次完整振動所花的時間 (單位s)
   (4) $f$：頻率，單位時間內物體所作的完整振動次數 (單位Hz)
   (5) $\phi_0$：初相位
   (6) $wt+\phi_0$：相位，用來確定物體任意時刻的運動狀態 (範圍0~$2\pi$)

3. 相關公式：
   (1) 簡諧運動受力情況：$F=-kx=-w^2mx$
   (2) $k=w^2m$
   (3) $w=\frac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$

4. 簡諧運動位移、速度和加速度之間的關係
   (1) $x=Acos(wt+\phi_0)$
   (2) $v=wAcos(wt+\phi_0+\frac{\pi}{2})$
   (3) $a=w^2Acos(wt+\phi_0+\pi)=-w^2x$
   注：簡諧運動的位移與加速度的圖形凹凸性相反

5. 旋轉矢量法口訣：一箇中心兩個基本點，找位移作垂線，根據方向舍一個

6. 簡諧運動方程 $x=Acos(wt+\phi_0)$ 中一共5個變量，知道其中任意4個可以求第5個

7. 有關簡諧運動$x-t$圖像的題，可以通過$w=\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ 來求角頻率

簡諧振動的能量

1. 簡諧振動的動能：$E_k=\frac{1}{2}kA^2sin^2(wt+\phi)$
2. 簡諧振動的勢能：$E_p=\frac{1}{2}kA^2cos^2(wt+\phi)$
3. 動能和勢能的週期減半、角頻率翻倍
4. $E_總=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2$
5. 平均動能和平均勢能：$\overline{E}=\frac{1}{4}kA^2$

簡諧振動的合成

1. 只考查同頻率、同一直線上的諧運動合成
2. 求合振動時先畫出振動的旋轉矢量圖
3. $x_合=x_1+x_2=A_合cos(wt+\phi_合)$
4. $A_合=A_1$ 與 $A_2$的矢量和$=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta \phi}$
5. $\phi_合=$矢量$A_合$與$x$軸的夾角：$tan\phi_合=\frac{A_1sin \phi_1+ A_2sin \phi_2}{A_1cos \phi_1+A_2cos\phi_2}$

補充

1. 彈簧的串並聯會改變彈簧整體的k
2. $k_並=k_1+k_2+k_3...$
3. $\frac{1}{k_串}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}...$
4. 將受力與週期聯繫起來的公式：$w=\sqrt \frac{k}{m}$